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TOP>HTML形式メルマガバックナンバー>Vol085 平面図形 線対象、点対象
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Vol085 平面図形 線対象、点対称 2009年11月1日
線対称、点対象の前に、合同という言葉を説明します。今の段階では、まだやりませんが、後に証明という事も
学びます。そのときに、合同という言葉をよく使います。なので、きちんと理解しておきましょう。
2つの図形があるとき、それぞれ、平行に移動させたり、回転させたり、ひっくり返したりして、2つの図形が、
ぴったり重なる（一致する）とき、その2つの図形は合同であると言います。
例として、以下の2つを見てください。
図1は、図形Aを平行移動させたら、図形Bに一致する例です、図2は、ひっくり返して(正確に言うと対称移動)、
平行移動させたら一致する例です。図3は、点Pを中心に図形Aを回転移動させて、平行移動させたら一致する例です。
（※平行移動、対象移動、回転移動については、後に学習します）
図1、2、3とも、図形Aと図形Bは合同と言えます。
線対称
図形を描いて、その図形の上に直線を引きます。その直線に沿って、折り紙の要領で折ったとき、上の図形が
下の図形とぴったりと一致するとき、すなわち合同となるとき、ぞの図形は線対象の図形であると言います。
また、そのぴったりと一致した場合の引いた直線を対象の軸と言います。
下の図は、線対称の図形の例です。
台形ABCDのABの中点をQ、DCの中点をPとします。QPを通る直線が
対象の軸となります。この軸に沿って折ると、点Aは、点Bに一致して、
点Dは、点Cに一致します。
また、線分AQは、線分BQに一致します。すなわち、AQ＝BQ
線分DPは、線分CPに一致します。すなわち、DP＝CPとなり、
台形AQPDと台形BQPCは合同です。
また、∠AQP＝∠BQP＝直角、∠DPQ＝∠CPQ＝直角となるので、
対象の軸は対応する2点を結ぶ線分を垂直に2等分しています。
図では、対象の軸はAB、DCを垂直に2等分していますね。
独自の図形を描いても、対象の軸が存在すれば、線対称の図形と言えるので、線対称の図形は限りなく
ありますが、基本的な図形は以下の通りです。
①、正多角形 （正多角形は、各辺の長さと角の大きさが同じものです。正三角形、正方形も含まれます）
②、二等辺三角形
③、長方形
④、ひし形
⑤、円
①から⑤までの図形と、対象の軸を赤の破線で描きました。左端は正多角形の1つである正五角形です。
この中では、二等辺三角形以外は複数の対象の軸があることがわかりますね。円は、中心の点を通る直線
だったら、対象の軸は無数に存在します。
（実際に図形を描いて、折り曲げて一致するのを確認するのもよいでしょう）
点対称
図形の上に点を定めて、その点を中心に、その図形を180°回転させたときに、回転する前の図形の形に
ぴったりと一致するとき、その図形は点対象の図形であると言います。また、そのぴったりと一致した場合の定めた点を
対象の中心と言います。
下の図は、点対称の図形の例です。
対象の中心となります。この点をPとします。
このとき、Pを中心に、180°右（または左）に回転させると、点Aは
点Cの位置へ、点Cは点Aの位置へ移動し、点Bは点Dの位置へ、点Dは
点Bの位置へ移動します。また線分ABは線分CDに一致し、線分BCは
線分DAに一致します。すなわち、もとの図形と180°回転した図形は合同です。
対象の点は、対応する頂点の2点を結ぶ線分を2等分します。
図では、対象の点Pは、AC、BDを2等分していますね。
①、平行四辺形
②、長方形
③、ひし形
④、円
⑤、正方形
円以外は、対応する頂点の2点を結び（下の図では赤の破線）、その交点が対象の中心となります。
また、この中では平行四辺形以外は、線対称の図形でもあります。
円における対象の中心の求め方
円と交差するように互いに平行でない線を2本引いて、
2本それぞれの円内の線分の中点を通る垂線（下図の2本の赤の破線）を引きます。その2本の垂線が交差する点が
「円の対象の中心」となります。（下図参照）
他の図形も参考までに載せます。星以外は線対称の図形でもあり、点対象の図形でもあります。
対象の軸を赤の破線、対象の中心を赤の点で示しています。
（星は、180°回転すると、頂点が下を向いてしまい、さかさまな形になってしまうので、点対称ではないのです）
