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Vol067　その他の関数　2009年2月16日

今回は、関数を使って図形の面積を考える問題です。問題5でも1次関数と2次関数で囲まれた
部分の面積を求めることをやりましたが、今回は、ちょっと違います。

問題6
1辺が10cmの正方形があります。正方形のそれぞれの角を、O、A、B、C とします。
今、A→B→Cの順に、辺の上を移動する点Pがあるとします。
Pは、毎秒2cm の速さで移動するとして、OA、AP、POまたは、OA、AB、BP、POで囲まれた図形の
部分の面積をSとする。このとき、次の問いに答えよ。

問題6 （1）解説
PがAを出発して、Bまでは、Sは、OA、AP、POで囲まれた
図形の面積となります。この図形は、左上図からもわかるように、
三角形となり、三角形の面積となります。
点PがBから、Cに向かって進み始めると、Sは、
OA、AB、BP、POで囲まれた図形の面積となり、台形の面積と
なります。（左下図）
よって、面積の式を考える場合、三角形の式と、台形の式は、
違うので、点PがBを境に、前か後かの2つの場合で、
考える必要があります。まず、点PがBまで移動する場合、
すなわち、三角形の場合を考えます。

底辺はOA、高さをAPとすると、三角形の面積Sは、

OAは、10cm、APは、Pの進んだ距離となるので、
距離＝速さ×時間ですね。

よって、

ここで、点Pが、Aを出てからBに達するのは、5秒後。
よって、0から5秒までの間は、Sは上の式で表せるので、

次に、点PがBを越えてから、Cまでの面積Sは、
台形の面積だから、
底辺はOA、上辺はBP、高さをABとすると、台形の面積Sは、


BP＝速さ×時間＝2cm/秒×PがBを出てから経つ時間　となります。
BPは、PがBを出てからの距離だからです。

よって、PがBを出てから経つ時間は、PがAから出てからの時間から、AからBに達するのに要した
時間である 5秒を引く必要があります。よって、

台形OABPの面積の式は以下のようになります。

ここで、点PがAを出てから Cに達するのは、10秒後となるので、



三角形の面積の式と、台形の面積の式は結果的には、同じになったので、まとめると、





問題6 （2）解説




問題7
ABCDEFGHで囲まれた図形（黄色の部分）を、図形1とおく。


S を m で表しなさい。

問題7 解説
1次関数の式が入り乱れているようですが、Vol044や、Vol045の知識で、交点の座標は
簡単に求めることができるので、1つ1つ丁寧に求めていけば、難しい問題ではありません。

Sが、m の値で、どのように変化していくか、問題6のように、m の位置で図形の形をみきわめ、
場合分けによって、それぞれの関数式を求めていきましょう。

さて、Mが、0とBまたは、OとHの間では、図のように三角形の形をしています。


しかし、問題では、そのようなことは、明言していません。だから、調べる必要があるのです。
思い込みで解いていくと、思わぬミスをしてしまうことがあるので、気をつけましょう。

B、Hを通る1次関数の式は、それぞれ、2つあるので、2つの1次関数の交点の座標を
求める要領で求めれば分かります。




従って、Mが、BHまで移動するときは、△PQAの面積がSとなることが分かります。、
△PQAの面積は、以下の式となります。




よって、

次に、Mが、BHを越えて、CGまで動く場合は、ZUKEIは、△BHA＋□BPQHとなります。（下図参照）
よって、S＝△BHAの面積＋□BPQHの面積

次に、Mが、CGを越えて、DEまで動く場合は、（下図参照）
ZUKEIは、△BHA＋□BCGH＋平行四辺形CPQFと
なります。
よって、S＝△BHAの面積＋□BCGHの面積＋平行四辺形CPQFの面積
△BHAの面積＝12
□BCGHの面積＝BCの長さ×CGの長さ＝（8−4）6＝24
平行四辺形CPQFの面積＝CFの長さ×（m−8）＝3（m−8）＝3m−24
Fは、CGの中点なので、（11−5）÷2＝3となります。これは、平行四辺形のCPQFの底辺にあたります。

従って、

S＝12＋24＋3m−24＝3m＋12













次回から、場合の数と確率です。