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TOP>HTML形式メルマガバックナンバー>Vol057 循環小数 平方根総合問題
現在発行しているメルマガは、テキスト形式です。
しかし、数式が本来の形で、表示できないこともあり、
このサイトでは、バックナンバーの内容を本来の数式の表示になおして公開しています。
Vol057 循環小数 平方根総合問題 2008年5月16日
循環小数
例えば、1を3で割ると、
0.33333…となり、少数点以下の部分は、3が繰返しずっと続きます。
847を33で割ると、
2.543543543…となり、これも、少数点以下の部分は543が繰返しずっと続きます。
このように、小数点以下が、1つまたは、2つ以上の数字の並びが、ずっと繰り返される
小数のことを循環小数（じゅんかんしょうすう）と言います。
循環少数は、一般に次のように表します。
すなわち、繰り返される数字の並びの最初の数の上と、最後の数の上に、
点をつけます。
循環小数とは逆に、小数の部分が途中で終わる場合を有限小数（ゆうげんしょうすう）と
言います。
有限小数の例
2÷5＝0.4
3÷8＝0.375
問題1 次の計算結果を、循環小数の表し方で表しなさい。
（1） 7÷3
（2） 3÷11
（3） 425÷999
（4） 833÷370
（1）解説
7÷3＝2.33333…なので、3が繰返されることがわかります。よって、
（2）解説
3÷11＝0.272727…なので、27が繰返されることがわかります。よって、
（3）解説
425÷999＝0.425425425…なので、425が繰返されることがわかります。よって、
（4）解説
833÷370＝2.2513513513…なので、小数第2位から4位までの513が繰返されることが
わかります。よって、
今までのは、割った結果が循環小数の場合、それを循環小数の表し方で表しました。
では、今度は逆に循環小数の表し方で表された数を分数で表現しましょう。
最初の例でいうならば、
という具合ですね。では、どうしたら分数にできるか？
これは、今まで習った方程式を使って分数にすることができます。
まず、0.33333…＝x と置きます。
ここで、xを10倍した数はどうなるでしょうか？
10x は、10×0.33333…だから、3.33333…となりますね。
つまり、もう1つの数である、3.33333…ができ、
3.33333…＝10x
0.33333…＝x
という2つの式ができました。
小数部分（0.33333…）が一致していることに気がつきましたか？
これを連立方程式を解くときのように加減法で、上から下の式を左辺は左辺を、
右辺は右辺を引きます。
一般に、A＝Bのとき、A-C ＝ B-C が成り立ちます。下の式の0.33333
と x が C にあたります。
0.33333＝x なので、両方とも C と置けますからね。
すると、左辺は
3.33333…－0.33333…＝3
循環している小数の部分（0.33333…）が消去できました。
循環している部分は、3.33333…も、0.33333…も同じですからね。
だから、3だけ残りました。
右辺は、10x－x＝9x となり、9x＝3
上の解き方ですが、x を10倍しているところがポイントです。
x を10倍したのは、循環している部分を消すために、循環部分が一致するように、
10を循環している桁数分累乗して、それをもとの数にかけたのです。
すなわち、循環している桁数は、3だけの1桁なので、10の1乗分をかけたわけです。
問題2 次の循環小数を分数の形にしなさい。
（1）解説
1.2525…＝x と置きます。
循環している部分を消すために、もう1つの数をつくりまが、10倍では、
12.5252…となってしまい、引いても、循環部分が残ってしまいます。
上で説明した、「10を循環している桁数分累乗して、それをもとの数にかける」ので、
循環している桁数は、25の2桁なので、10の2乗分、すなわち100をかけます。
125.2525…＝100x
1.252525…＝x
よって、上から下の式を引いて、
99x＝124
ｘ＝124/99
（2）解説
2.543543…＝x と置きます。
循環している桁数は543の3桁なので、10の3乗分、すなわち1000をかけます。
2543.543…＝1000x
2.543…＝x
よって、上から下の式を引いて、
999x＝2541
ｘ＝2541/999＝847/333
（3）解説
0.35757…＝x と置きます。
57が循環してるわけですが、小数以下の部分の先頭の数である3は循環部分ではありません。
循環の部分が消えるようにするためには、57の7の部分が小数第1位と
なるように、もうひとつの数をつくる必要があります。
すなわち、35.75757…となれば、この数の小数第2位下の循環部分は、もとの数の小数第2位下と
一致するので、引いたときに循環部分が消えます。
理屈がわかったところで、やり方は今までと同じです。
循環している桁数は57の2桁なので、10の2乗分、すなわち100をかけます。
35.757…＝100x
0.357…＝x
よって、上から下の式を引いて、
99x＝35.4
小数を整数にするために、両辺を10倍します。
990x＝354
ｘ＝354/990＝59/165
平方根総合問題
問題3 次の計算をしなさい。
次回は、平方根総合問題解答と2次方程式です。