数学に強くなりたいあなたへ　＜中学数学・高校数学＞

TOP>HTML形式メルマガバックナンバー>Vol053　式の計算　式の因数分解5

現在発行しているメルマガは、テキスト形式です。
しかし、数式が本来の形で、表示できないこともあり、
このサイトでは、バックナンバーの内容を本来の数式の表示になおして公開しています。

Vol053　式の計算　式の因数分解5　平方根　2008年3月15日

前号では、比較的難しい因数分解の問題をやりました。
今回も引き続き、問題のパターンに慣れるため、何問かやります。
その前に、因数分解の解法のポイントを復習しましょう。

1、1種類の文字だけがある多項式は、まず、たすきがけ。
2、複数の文字がある場合
　　・1つの文字に着目して、式をまとめる。そして、たすきがけ。
　　・共通項でくくる。
　　・展開の式を予想する。（覚えた公式の形かを確認する）
　　・いくつかの単項式をピックアップして、その多項式を因数分解

問題6　次の式を因数分解しなさい。



（1）解答
この形は、たすきがけの方法で解きましょう。

x の前の係数は、マイナス（−32のこと）で、数の項はマイナス（−16のこと）なので、
因数分解した結果が（ax＋b）（cx＋d）とすると、

bとdのどちらかはマイナスで、マイナスの方は、絶対値が一方より、大きくなります。

つまり、b＜0とすると、bの絶対値＞dとなるように、bとdを考えます。
そうしないと、x の係数がプラスになってしまうからです。これは題意に合いません。

さて、かけて20になる2つの整数は、1と20、2と10、4と5の場合しかありません。
次に、かけて、−16になる2つの整数は、1と−16、2と−8、4と−4となります。

※1と−16、2と−8は、bの絶対値＞dとなるように、bとdを考えてます。

全てのたすきがけのパターンをやれば、必ず正解に結びつきますが、

ここでは、正解の一部を載せます。この他にも、違うパターンがあります。自分でやってみましょう。
もちろん、最終的な答えは同じになります。



よって、問題の式は、（10x＋4）（2x−4）となりますが、
共通因数は、外に出すので、

（10x＋4）＝2（5x＋2）
（2x−4）＝2（x−2）

よって、（10x＋4）（2x−4）＝4（5x＋2）（x−2）

答え：4（5x＋2）（x−2）

（2）解答
この形は、文字が3つありますが、このようなときは、まず、1つの文字に着目してみます。
特に、x が、2乗の形なので、x について以下のように整理します。



ここで、右の（　）の中が因数分解できそうなので、できるか確認します。
因数分解できれば、さらなる因数分解ができそうです。

（　）内は、yに着目して、たすきがけを行ってます。


よって、



ここで、この式を今度は、x に着目して、たすきがけを行います。

−2（5y＋7z）は、係数がマイナスで、（2y＋3z）（4y＋5z）の係数はプラスなので、
−（2y＋3z）と−（4y＋5z）として、因数を考えます。

よって、



よって、さらに因数分解できるので、



答え：（3x−4y−5z）（x−2y−3z）

（3）解答
この形をよく見ると、xの3乗で始まって、ｚの3乗で終わっています。
しかも、ｘの2乗、ｙの2乗、ｚの2乗の形もあり、ｘｙｚの形もあります。
これは、多項式の3乗の形ではないかと推測できます。


※a、b、cは係数

問題の形と比べると、形が全く同じであることが分かります。
（入試問題では、多項式の累乗は3乗の形が限界と思われます。理由は解くのに時間がかるからです。
　ということは、3乗の形は、上記の基本形の展開がメインとみてよいと思います）

問題の式の形となるように、a、b、cの値が決まれば、多項式の3乗の形の因数分解となります。








となり、問題の式と一致します。よって、





（4）解答
因数分解の基本である、「共通項でくくる」という作業をしてみます。
問題の式は、全ての単項式に、a が含まれているので、まず、これでくくります。



ここで、（　）内の式を、共通項でくくってみます。

前から順番に、3つずつの単項式でまとめていくと、

ad−ae−af＝a（d−e−f）
−bd＋be＋bf＝−b（d−e−f）
cd−ce−cf＝c（d−e−f）

従って、（　）内は、

ad−ae−af−bd＋be＋bf＋cd−ce−cf＝a（d−e−f）−b（d−e−f）＋c（d−e−f）

さらに、（d−e−f）が共通項となるので、

a（d−e−f）−b（d−e−f）＋c（d−e−f）＝（a＋b＋c）（d−e−f）

よって、問題の式は、a（a＋b＋c）（d−e−f）

答え：a（a＋b＋c）（d−e−f）

（5）解答
単項式の数は、9あります。これも（4）と同様、まず、共通項で、くくれないかを考えます。


くくれます。（わかりやすいように色分けしてます）



それぞれは、矢印のように因数分解されます。



（x−2y−z）という共通項があるので、それで、くくって



因数分解ができたということで、ここで終わってはいけません。


足して、−20、かけて、25になるのは、数だけの項はともにマイナスであり、
探るまでもないでしょう。



よって、







（6）解答
xの4乗から、1つずつ次数が減って、最後は整数となっています。
この形で、因数分解できるということは、下記の形に因数分解されることが予想できます。
問題の式は整数だけの項である 9 があるので、両方の（　）内に文字式でない整数だけの項がある
必要があります。bとdがそれにあたります。（a、cも整数）
片方の（　）内だけだと、展開した後、整数の項はあり得ません。また、

ax、cxがそれにあたります。これがないと、xの3乗の形ができません。



これを展開すると、まさに問題の式の形となります。



これ以外に、下記のような展開式もあり得るのではと思うかもしれませんが、




展開してみるとわかりますが、問題の式とはなり得ません。a から d の値が設定できないことが
わかります。自分で展開して試してみてください。

さて、問題の式の文字の係数（文字の前の数）より、

�@、a＋c＝−4
�A、b＋d＋ac＝12
�B、ad＋bc＝−16
�C、bd＝16

上記の4つの等式を満足する、a、b、c、dが得られれば、


bd＝16より、次の3つのパターンが考えられます。

1、b＝1、d＝16
2、b＝2、d＝8
3、b＝4、d＝4

1のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝−5、また、�@により、
a＝−c−4
これを、ac＝−5に代入すると、−（c＋4）c＝−5 となる。これを満たす c は、1、または−5

c＝1とすると、a＝−c−4より、a＝−5
ここで、ad＋bc＝−5×16＋1×1＝−79となり、�Bの、ad＋bc＝−16と矛盾します。

c＝−5とすると、a＝−c−4より、a＝1
ここで、ad＋bc＝1×16＋1×−5＝11となり、これも�Bの、ad＋bc＝−16と矛盾します。
よって、このパターンは不適当

2のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝2、また、�@により、
a＝−c−4
これを、ac＝2に代入すると、−（c＋4）c＝2となる。
2の約数は、1と2自身しかなく、cを、1、または−1とすると、
−（c＋4）c＝2となりません。
cを、2、または−2としても、−（c＋4）c＝2となりません。
よって、このパターンは不適当です。

3のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝4、また、�@により、
a＝−c−4
これを、ac＝4に代入すると、−（c＋4）c＝4 となる。4の約数の中で、
これを満たす c は、−2

このとき、a＝−c−4 より、a＝−2、すると、a＝−2、b＝4、c＝−2、d＝4は、
�Bも満たすので、この値で、因数分解できます。よって、問題の式は、





（7）解答
解法のポイントは、単項式をピックアップして、因数分解できそうな多項式をつくります。

問題の式の赤の部分の単項式に注目してください。



赤の部分をまとめると、



これは、たすきがけは省略しますが、−4（x＋y）（2x＋y）と因数分解できます。

すると、問題の式は、



となります。

さて、ここで、さらに因数分解できるものはないか、考えます。
共通項があるもので、くくってみます。青と赤の多項式にわけてみると、



共通項でくくって、次のようになります。



さらに、青は（　）内が因数分解できて、



青、赤、黒の式それぞれが、（x＋y）を因数にもっているので、（x＋y）でくくって、



さらに、後ろのかっこ内は、x についてまとめると、これも因数分解できそうです。



たすきがけで調べます。



よって、｛　｝内は、

（−3x−4）（−x＋y＋4）＝-1（3x＋4）×−1（x−y−4）＝（3x＋4）（x−y−4）

従って、問題の式は、以下のように因数分解されます。

（3x＋4）（x−y−4）（x＋y）

答え：（3x＋4）（x−y−4）（x＋y）


平方根

以前に発行したメルマガで、まず復習をしてください。

Vol022　2007年5月31日

問題1　次の数の平方根を求めなさい。

（1）　81

（3）　0.64
（4）　0.0025
（5）　−36

問題2　次の数の平方根を根号（√）を用いて表しなさい。

（1）　11
（2）　0.056
（3）　3x　（x≧0）


次回は、引き続き、平方根です。