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Vol052　式の計算　式の因数分解4　2008年2月19日

前号の問題の解答です。

問題6　次の式を因数分解しなさい。（6）、（7）は難


（1）解答
たすきがけという方法
この方法は、次の公式を利用するものです。

（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd

ここで、a のところを ax、ｃ のところを cx、とすると、



この形に、（1）の問題の形が当てはまることがわかりますか？

つまり、ac＝6、ad＋bc＝28、bd＝30となる、a、b、c、dを求めれば、
（ax＋b）（cx＋d）のように因数分解できるということです。

ここで、次のように考えます。



解き方としては、ac＝6となる2つの整数、a、c、
そして、bd＝30になる2つの整数、b、dを考えて、上の a、b、c、dのところに配置します。

そして、交差している矢印どうしを、かけて、その結果である、bcxとadxをプラスして、
28x になれば、つまり、（bc＋ad）x＝28x となれば、そのときの a、b、c、dを使って、
（ax＋b）（cx＋d）のように因数分解できます。

実際にやってみましょう。
かけて6になる2つの整数は、1と6、2と3の場合しかありません。次に、かけて、30になる2つの整数は、
1と30、2と15、3と10、5と6となります。

問題の式を見ると、ac、bd、ad＋bcの部分は全てプラスのなので、全部とも負の整数は考える
必要はありません。

単純に、これらを組み合わせて、できるパターンは以下の通りです。
全部で16パターンあります。ｘ（エックス）は省略してます。
これらのパターンの内、条件に合う、a、b、c、dで因数分解できます。

全部一個一個確認していけば、必ず条件に合う答えは見つかります。
探す作業は、パズルぽくって、ちょっと数学的でない感じがしますね。



緑で囲まれた部分が、条件に合うパターンです。
答えが2つ？と思われたかも知れませんが、どちらも同じ答えとなります。

右下のパターンでいくと、このとき、a＝2、b＝6、c＝3、d＝5となり、
問題の式は、以下のように因数分解できます。共通因数は、外に出すので、
（2x＋6）＝2（x＋3)とします。



解説が長くなりましたが、この種の問題は数をこなせば、頭が働くようになります。
理屈だけ分かって、なるほどと思うだけではだめです。
本当の理解は、練習の後に来ます。

答え：2（3x＋5）（x＋3）

（2）解答
文字が2つありますが、このようなときは、1つの文字に着目します。
特に、x が、2乗の形なので、それについて以下のように整理します。



これも、たすきがけの方法で解いてみましょう。

かけて4になる2数は、1と4、2と2の2通り、かけて、3（y−3）となる整数、または単項式は、
3と（y−3）の1通り。全部で2通りしかありません。正解の方だけ示します。



よって、問題の式は、



答え：（x＋3）（4x＋y−3）

（3）解答
文字が3つありますが、このようなときも、1つの文字に着目してみます。
特に、x が、2乗の形なので、x について以下のように整理します。



ここで、（　）の中が因数分解できそうなので、できるか確認します。
因数分解できれば、さらなる因数分解ができそうです。

（　）内は、yに着目して、たすきがけを行っています。
zでもかまいせん。


よって、



ここで、x に着目して、たすきがけを行います。


よって、



答え：（x−y＋3z）（x＋2y−3z）

（4）解答
今までのような、たすきがけという方法が有効ではないような感じです。
このようなときは、最初にやった、共通項で、くくれないかを考えます。
問題の式は、単項式が、9あるので、9の約数である、3つずつでグループ化できそうです。

先頭から3つの単項式が、a、次の3つの単項式が、b、残りの3つの単項式が、c で
くくれます。よって、

ad＋ae−af−bd−be＋bf−cd−ce＋cf＝a（d＋e−f）−b（d＋e−f）−c（d＋e−f）

となります。
さらに、（d＋e−f）で、くくれることがわかりましたので、

a（d＋e−f）−b（d＋e−f）−c（d＋e−f）＝（a−b−c）（d＋e−f）

答え：（a−b−c）（d＋e−f）

（5）解答
単項式の数は、9あります。これも（4）と同様、まず、共通項で、くくれないかを考えます。

くくれます。（わかりやすいように色分けしてます）



それぞれは、矢印のように因数分解されます。



（x＋2y−z）という共通項があるので、それで、くくって



因数分解ができたということで、ここで終わってはいけません。


足して、−6、かけて、9になるのは、数だけの項はともにマイナスであり、
探るまでもないでしょう。



よって、





（6）解答
xの4乗から、1つずつ次数が減って、最後は整数となっています。
この形で、因数分解できるということは、下記の形に因数分解されることが予想できます。
問題の式は整数だけの項である 9 があるので、両方の（　）内に文字式でない整数だけの項がある
必要があります。bとdがそれにあたります。（a、cも整数）
片方の（　）内だけだと、展開した後、整数の項はあり得ません。また、

ax、cxがそれにあたります。これがないと、xの3乗の形ができません。



これを展開すると、まさに問題の式の形となります。



これ以外に、下記のような展開式もあり得るのではと思うかもしれませんが、




展開してみるとわかりますが、問題の式とはなり得ません。a から d の値が設定できないことが
わかります。自分で展開して試してみてください。

さて、問題の式の文字の係数（文字の前の数）より、

�@、a＋c＝10
�A、b＋d＋ac＝31
�B、ad＋bc＝30
�C、bd＝9

上記の4つの等式を満足する、a、b、c、dが得られれば、


bd＝9より、次の3つのパターンが考えられます。

1、b＝1、d＝9
2、b＝9、d＝1
3、b＝3、d＝3

1のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝21、また、�@により、
a＝10−c
これを、ac＝21に代入すると、（10−c）c＝21となる。21の約数の中で、
これを満たすcは、3、または7

c＝3とすると、a＝10−cより、a＝7
ここで、ad＋bc＝7×9＋1×3＝66となり、�Bの、ad＋bc＝30と矛盾します。

c＝7とすると、a＝10−cより、a＝3
ここで、ad＋bc＝3×9＋1×7＝34となり、これも�Bの、ad＋bc＝30と矛盾します。
よって、このパターンは不適当

2のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝21、これは1のパターンと同じなので、これも不適当

3のパターンの場合
�Aのb、dに代入して、ac＝25、また、�@により、
a＝10−c
これを、ac＝25に代入すると、（10−c）c＝25となる。25の約数の中で、
これを満たすcは、5

このとき、a＝10−cより、a＝5、すると、a＝5、b＝3、c＝5、d＝3は、
�Bも満たすので、この値で、因数分解できます。よって、問題の式は、





（7）解答
解法のポイントは、単項式をピックアップして、因数分解できそうな多項式をつくります。

問題の式の赤の部分の単項式に注目してください。



赤の部分をまとめると、



これは、たすきがけは省略しますが、（4x−3y）（2x−y）と因数分解できます。

すると、問題の式は、



となります。

さて、ここで、さらに因数分解できるものはないか、考えます。
共通項があるもので、くくってみます。青と赤の多項式にわけてみると、



青は、たすきがけで因数分解、赤は、係数でくくって、次のようになります。





よって、問題の式は、



これを（2x−y）で、くくると、



さらに、前のかっこ内は、x についてまとめると、これも因数分解できそうです。



｛　｝内を、たすきがけで調べます。


よって、｛　｝内は、



従って、問題の式は、以下のように因数分解されます。





いかがでしたか？（7）は、難しい部類の問題です。
高校生でも解くのは、難しいかも知れません。（中学生の皆さんごめんなさい）
でも、上記の問題がこなせれば、たいていの因数分解は問題ないでしょう。

次回は、引き続き因数分解と、平方根です。