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Vol050　式の計算　式の因数分解2　2008年1月19日

前号の問題の解答です。

問題4　次の式を因数分解しなさい。


解答
どの単項式も最大の共通因数である、ab があります。与式を ab でくくると、






解答
どの単項式も最大の共通因数である、4x があります。与式を 4x でくくると、





（3）　a（x＋y）−b（x＋y）
解答
2つの多項式a（x＋y）、−b（x＋y）に共通の因数である、 （x＋y）があります。与式を （x＋y）でくくると、

a（x＋y）−b（x＋y）＝（x＋y）（a−b）

答え：（x＋y）（a−b）

（4）　（a＋b）（x−y）＋（a＋b）（y−z）
解答
2つの多項式（a＋b）（x−y）、（a＋b）（y−z）に共通の因数である、 （a＋b）があります。
与式を（a＋b）でくくると、

（a＋b）（x−y）＋（a＋b）（y−z）＝（a＋b）（x−y＋y−z）＝（a＋b）（x−z）

答え：（a＋b）（x−z）


解答
どの単項式も分数の形をしていて、共通因数 x は検討がつけても、分数はどうなるの？と
思うでしょう。分数は、基本的に（　）の外に出して、（　）の中の単項式の前の部分の数は、
整数にしておけばよいです。分数でも間違いではありません。

それぞれの単項式の分母である、5、4、2の最小公倍数は、20です。
よって、それぞれ分母をそろえて与式は、



最初の形の与式でも、分子はどうし（2、3、1）の共通因数はなかったので、





Vol46、Vol47で式の展開についてやりました。

式の展開の公式の左辺、右辺を逆にすると、展開された式は、式の積の形に因数分解されることが
わかります。

ac＋ad＋bc＋bd＝（a＋b）（c＋d）

全ての式が、上記のように因数分解されるわけではありませんが、ac＋ad＋bc＋bd の形になっている
ものは、必ず、（a＋b）（c＋d） の形に因数分解できるということです。

今まで習った公式は全てひっくり返したのが因数分解の公式となります。









例題
次の式を因数分解しなさい。






（1）解答
この形は、�Aの公式の形です。すなわち、

a＋b＝5
ab＝6

となる、a、bを求めればよいのです。
足して5、かけて6になる2数は、2 と 3 という具合に直感でわかると思います。
もちろん、直感で出てこなければ、最初は、かけて6になる整数のペアを1から順につくっていって、
それぞれ、足してみればよいでしょう。
かけて6になる数のペアをつくるためには、1から順に割っていって、割り切れる数の場合だけ、
足してみるということです。

なれてくると、頭の中でイメージできるようになるでしょう。

1×6＝6　1＋6＝7‥　これは不適当
2×3＝6　2＋3＝5　‥　適当

また、逆に、足して5になるペアから探してもよいと思います。
地道に1から、順番に足して5になるペアをつくります。
かける方から探るより多少時間がかかるでしょうが、割るのが苦手な方は、
こちらの方が正確に答えが出せるでしょう。

1＋4＝5　1×4＝4　‥　これは不適当
2＋3＝5　2×3＝6　‥　適当



答え：（x＋3）（x＋2）　または、反対にして（x＋2）（x＋3）でもよい

（2）解答
この形も、�Aの公式の形です。
足して、10、かけて21になる2数は、3 と 7 。

もちろん、順にペアをつくっていけば、正解にたどりつけます。

3×7＝21　3＋7＝10　‥　適当



答え：（x＋7）（x＋3）

（3）解答
この形も、�Aの公式の形です。数字だけのところは、マイナスではないかと思うかもしれませんが、
公式のa、bに入る数は、マイナスでもかまいません。
逆に言えば、プラスの場合だけの公式と考えてはいけません。

足して、3、かけて、−28になる2数は、7と−4です。

7＋（−4）＝3
7×（−4）＝−28

このように、足してプラス、かけてマイナスの場合、絶対値が大きい方の数がプラスです。
小さい方の数がマイナスとなります。7と−4の絶対値は、それぞれ、7、4ですね。

かけるペアから探る場合
（−1）×28＝−28　（−1）＋28＝−27　‥　これは不適当
（−2）×14＝−28　（−2）＋14＝−12　‥　これは不適当
28 は −3 で割れない　‥　これは不適当
（−4）×7＝−28　（−4）＋7＝3　‥　これは適当

足すペアから探る場合
地道なペアのつくり方は、差額が3となるような数からスタートします。
差額 3 に 1をプラスした 4 からスタートです。2数は、どちらも0でないので、
1をプラスしないで、3からスタートすると、足して 3 だから、最初は、一方の数は、0 となってしまいます。

3＋0＝3

だから、4からスタートします。
4＋（−1）＝3　4×（−1）＝−4　‥　これは不適当
5＋（−2）＝3　5×（−2）＝−10　‥　これは不適当
6＋（−3）＝3　6×（−3）＝−18　‥　これは不適当
7＋（−4）＝3　7×（−4）＝−28　‥　適当



答え：（x＋7）（x−4）

（4）解答
この形も、�Aの公式の形です。（3）のようなケースです。

足して、−1、かけて、−30になる2数は、5と−6です。

5＋（−6）＝−1
5×（−6）＝−30

このように、足してマイナス、かけてもマイナスの場合、絶対値が小さい方の数がプラスです。
大きい方の数がマイナスとなります。

かけるペアから探る場合
1×−30＝−30　1＋（−30）＝−29　‥　これは不適当
2×−15＝−30　2＋（−15）＝−13　‥　これは不適当
3×−10＝−30　3＋（−10）＝−7　‥　これは不適当
30 は 4 で割れない　‥　これは不適当
5×−6＝−30　5＋（−6）＝−1　‥　これは適当

足すペアから探る場合
地道なペアのつくり方は、差額が−1となるような数からスタートします。
差額−1に 2をプラスした 1 からスタートです。理由は、（3）と同じ考えです。

よって、
1＋（−2）＝−1　1×（−2）＝−2　‥　これは不適当
2＋（−3）＝−1　2×（−3）＝−6　‥　これは不適当
3＋（−4）＝−1　3×（−4）＝−12　‥　これは不適当
4＋（−5）＝−1　4×（−5）＝−20　‥　これは不適当
5＋（−6）＝−1　5×（−6）＝−30　‥　適当



答え：（x＋5）（x−6）

（5）解答
この形も、�Aの公式の形です。

足して、−13、かけて、36になる2数は、−4と−9です。

−4＋（−9）＝−13
−4×（−9）＝36

このように、足してマイナス、かけてプラスの場合、2数ともマイナスです。

かけるペアから探る場合
−1×−36＝36　−1＋（−36）＝−37　‥　これは不適当
−2×−18＝36　−2＋（−18）＝−20　‥　これは不適当
−3×−12＝36　−3＋（−12）＝−15　‥　これは不適当
−4×−9＝36　−4＋（−9）＝−13　‥　これは適当

足すペアから探る場合
地道なペアのつくり方は、足して13となるような数からスタートします。
2数ともマイナスのなので、−1 からスタートです。

−1＋（−12）＝−13　−1×（−12）＝12　‥　これは不適当
−2＋（−11）＝−13　−2×（−11）＝22　‥　これは不適当
−3＋（−10）＝−13　−3×（−10）＝30　‥　これは不適当
−4＋（−9）＝−13　−4×（−9）＝36　‥　適当



答え：（x−4）（x−9）

�Aの形の因数分解は、例題の（1）と（2）は同じ、（3）、（4）、（5）の4種類に分類されます。
ここでは、あえてまとめた分類化はしません。
多数の問題にあたって慣れた方が早く習得できます。

問題5　次の式を因数分解しなさい。









次回は、解答と引き続き因数分解です。