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Vol048 式の計算 因数分解 2007年12月24日
前回の問題の解答です。
問題2 次の式を展開してください。
解答
文字式の計算の優先順位を思い出してください。→Vol019 指数計算 文字の代入
×、÷の連続計算は、左から順番に計算します。
計算結果が変わってしまうし、それは間違った計算です。
連続計算の一部となっているときは注意が必要です。
分子と分母で約分できるものを約分します。
解答
公式通りに展開します。
解答
同類項をまとめて、
解答
（5） （2a＋b＋c）（2a－c＋b）
解答
単純に展開してもよいのですが、よく見ると、ある形の公式が使えそうです。
右（ ）内の、－c、＋bの順番を入れ換えると、
（2a＋b＋c）（2a－c＋b）＝（2a＋b＋c）（2a＋b－c）
2a＋bを
x と置くと、すなわち、2a＋b＝x とすると、
（2a＋b＋c）（2a＋b－c）＝（x＋c）（x－c）
この形は、
の公式の形と同じですね。よって、
単純に展開するより、計算の手間が省けています。
展開の式は、このように、さらにシンプルな形にしてから、展開するという方法があります。
解答
ですが、指数計算の法則を使って、次のように変形すれば、使えます。
※指数計算の法則→Vol017 指数計算
すなわち、a＋5b＝m、a－5b＝n
とすると、
よって、
解答
（6）の問題が分数になっただけです。
（8） （a－3）（a＋4）（a＋3）（a－4）
解答
これは、（5）のパターンと同類です。すなわち、まず、シンプルな形にできます。
かっこの順番を入れ換えると、
（a－3）（a＋4）（a＋3）（a－4）＝（a－3）（a＋3）（a＋4）（a－4）
前から2つのかっこ、すなわち、（a－3）（a＋3）、後ろの2つのかっこ、すなわち、（a＋4）（a－4）を
展開して、
解答
これは、同じものを3回かけるわけですが、まず、2回分を展開して、すなわち、（3a＋2）（3a＋2）を
展開して、残りの1回分とを展開します。
この形は、一般に公式として、覚えていた方がよいので、参考までに載せておきます。
因数分解（いんすうぶんかい）に入ります。
まず、素数（そすう）について説明します。
1と自分自身以外に約数を持たない自然数（1より大きい）を素数と言います。
例えば、7は、1と自分自身である7以外に約数を持ちません。
素数＝2、3、5、7、11、‥
のように素数は無限に存在します。
なぜ、無限に存在すると言えるのかは、実は証明できるからです。参考までに証明を載せます。
証明は背理法（はいりほう）を使った証明をします。
背理法とは、例えば、「ＡならばＢである」を証明する場合、「ＡならばＢでない」とすると、
矛盾が起こる事を証明し、その結果、「ＡならばＢである」と証明するものです。
素数が無限に存在する証明
『素数が有限と仮定します。つまり、n個しかないとします。
それぞれの素数をm（i）として、m（1）、m（2）、‥m（n）、と
表します。例えば、m（1）＝2、m（2）＝3、‥となります。※nは定数
上の仮定のもとで、ある数
Ｆ を次のように定義することができます。
すなわち、全ての素数をかけ合わせて、それに1を足した数をＦとします。
Ｆ＝m（1）×m（2）×‥×m（n）＋1‥①
さて、ここで、Ｆは、素数であるか、素数でないかどちらかです。
まず、「Ｆは素数である」と仮定します。
しかし、①より、Ｆは全ての素数をかけ合わせて、1を足しているので、
素数の最大値であるm（n）を越えた素数ということになります。
これは、素数は有限で、m（n）が最大とした仮定に反します。
次に、「Ｆは素数ではない」と仮定します。
すなわち、Ｆは素因数分解することができると仮定します。すると、
Fは①の右辺の、m（1）、m（2）、‥、m（n）のいずれかの積の形に表される
ことになります。該当する素数を、仮にm(a1)、m(a2)、…m(ak)とすると、
Ｆ＝m(a1)×m(a2)×‥×m(ak)×m(P)‥①
m(P)は、m(a1)、m(a2)、…m(ak)のいずれかの累乗分を含んでいます。
しかし、①より、Fをm(a1)×m(a2)×‥×m(ak)で割った結果は、1余る結果と
なり、Ｆは素因数分解することができるという仮定に反します。
つまり、素数は有限と仮定すると、全ての場合において矛盾が生じます。
よって、素数は無限であると言えます。
証明終わり』
自然数は、素数だけの積の形にすることができます。
これを素因数分解（そいんすうぶんかい）と言います。
例えば、42＝2×3×7
素数である2と3と7の積の形にすることができました。
素因数分解の仕方は、下記のように、小さい素数から、割っていき、割った結果が素数になるまで、
続けます。同じ素数で割れる場合は、その素数で割っていきます。
2）42 2）68 2）54
↓ 3）21 2）34 3）27
7 17 3）9
3
問題3 次の数を素因数分解してください。
（1） 600
（2） 648
（3） 784
（4） 415
（5） 315
次回は、解答と引き続き因数分解です。