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Vol035 １次関数 比例 2007年9月1日
今回より、１次関数(いちじかんすう)に入ります。
ある数 x と y があるとき、x の値を決めると、ある規則を通して、
y の値も１つ決まるとき、
「y は、x の関数」と言います。
例えば、y＝x＋2 という式があったとします。
x の値を 1 とすると、y＝1＋2＝3 となり、yの値が 3 という数に決まりました。
x の値を 2 とすると、y＝2＋2＝4 となり、yの値が 4 という数に決まりました。
x の値を決めると、ある規則(y＝x＋2)を通して、y の値が１つ決まっています。
従って、この場合、「y は、x の関数」と言えます。
では、「1から10までの整数の中で、ある整数 x を決めたとき、同じ範囲の中で、
x より大きい整数を y とする」という規則があったとします。
この場合、例えば、x の値を 9 とすると、y は10の１つですが、
x の値を他の整数、仮に 5 とすると、y は、6、7、8、9,10の５つあり、
従って、y の値が１つではない場合があるので、「y は、x の関数」とは言えません。
関数の定義は理解できたでしょうか？
さて、x 、y のそれぞれに入る値の範囲のことを変域(へんいき)と言います。
特に x に入る値の範囲を定義域(ていぎいき)と言い、y に入る値の範囲を値域(ねいき)と言います。
では、関数の意味がわかったところで、次の問題をやってみましょう。
次の、x と y の関係があるとき、「y は、x の関数」と言えますか？
問題A ある商品 x 円を買うとき、1000円札を出して、もらうおつりを y 円とする。
ただし、ある商品は1000円を超えないとする。
解答
例えば、商品が700円とすると、おつりの出し方は、
1、100円硬貨 3枚で300円
2、100円硬貨 2枚、50円硬貨2枚で300円
などと、色々ありますが、おつりの額そのものは、300円と１つ決まります。
ある商品の値段 x が決まれば、おつり y は１つ決まるので、「y は、x の関数」と
言えます。
問題B ある濃度 x ％の食塩水の食塩の量を y gとする。
解答
例えば、x を3として、濃度3％と決めても、食塩水の量については何も規則が
ないので、食塩水の量によって、食塩の量も無数にあります。
濃度3％で、食塩水の量を100gとすれば、食塩の量は、3g
濃度3％で、食塩水の量を50gとすれば、食塩の量は、1.5g
という具合に、濃度 x を決めても、食塩の量 y は１つに決まりません。
従って、「y は、x の関数」とは言えません。
さて、「y は、x の関数」と言える場合で、特に、y とx の関係が
y = ax （a はある定まった数, a ≠ 0)
となるとき、
「ｙは x に比例(ひれい)する」と言います。
a を比例定数(ひれいていすう)と言います。
例えば、ある商品１個の値段が、200円として、これを x 個買った場合の値段を
y 円とした場合、個数が決まれば、値段は１つ決まるので、「y は、x の関数」と
言えます。
さらに、y とx の関係が
y = 200x と書けるので、「ｙは x に比例する」と言えます。
では、問題Aで説明した y とx の関係は、「ｙは x に比例する」と言えるでしょうか？
y とx の関係を式に書くと、
y＝1000－x＝－x＋1000 （x≦1000)
となるので、y = ax の形ではありません。＋1000の部分が余計なのです。
従って、この場合「ｙは x に比例する」とは言えません。
ここまでのところを整理しましょう。
１、ある数 x と y があるとき、x の値を決めると、ある規則を通して、
y の値も１つ決まるとき、「y は、x の関数」と言います。
(y の値がただ１つ決まらないときは、「y は、x の関数」とは言いません)
２、「y は、x の関数」と言える場合で、特に、y とx の関係が、
y = ax （a はある定まった数, a ≠ 0)となるとき、
「ｙは x に比例(ひれい)する」と言います。
では、確認の問題です。
次の場合、「y は、x の関数」と言えますか？言える場合、
「ｙは x に比例する」と言えますか？
問1 濃度5％の食塩水 x gの食塩の量を y gとする。
問2 x 平方センチメートルの正方形の一辺の長さを y とする。
問3 x 平方センチメートルの長方形の横の長さを y とする。
問4 時速 x kmの自動車が、30分で走る距離を y とする。
問5 時速10 kmのランナーが、x分で走る距離を y とする。
問6 時速10 kmのランナーと、時速15 kmのランナーが、x分で走るそれぞれの距離の
合計を y とする。
問7 時速10 kmのランナーが走り始めて2分後に、時速15 kmのランナーが、走り始めた。
時速15 kmのランナーが走り始めてから、x分後にそれぞれが走った距離の合計を y とする。
(時速10 kmのランナーの距離は、走った全ての距離を含める)
次回は、解答と、引き続き１次関数です。