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Vol034　連立不等式　2007年8月25日

数直線上で、
○は、「‥より大きい又は小さい」を表し、●は「‥以上または以下」を表します。

問1　連立不等式　　5x＋a＞4　　の x の解が存在するように a の範囲を求めよ。
　　　　　　　　　　　2(3x＋6)≦a

解説
問題の内容が解らないと、この問題を解くことができません。
まず、問題の内容をより具体的にしてみましょう。

aには、いろいろな値が入ることができます。例えば、a＝1とすると、

5x＋a＞4 → 5x＋1＞4‥(1)
2(3x＋6)≦a → 2(3x＋6)≦1‥(2)

となって、これらの連立不等式を解くと、


a＝1の場合、x の解が存在しないという結果になります。
下の数直線を見れば、一目瞭然です。



−3 −2 −1 0 1 2 3

では、a＝10の場合はどうでしょうか？

5x＋a＞4 → 5x＋10＞4‥(1)
2(3x＋6)≦a → 2(3x＋6)≦10‥(2)

となって、これらの連立不等式を解くと、



下の数直線を見れば、x の範囲が重なる部分がありますね。



−3 −2 −1 0 1 2 3

a＝10の場合、x の解が存在するという結果になりました。

a の値によって、連立不等式の x の解が存在したり、存在しなかったりするわけです。

問題で、きいていることは、連立不等式の x の解が存在する場合は、
a はどのような値の場合か？ということです。

ここまで理解したうえで、a の値の範囲を求めましょう。

解答
2つの連立不等式の、それぞれの x の範囲を求めます。
(普通の連立不等式の解き方と一緒ですね)

5x＋a＞4
5x＞4−a

2(3x＋6)≦a
6x＋12≦a
6x≦a−12



(1)と(2)を満足する x の範囲は、次の範囲になることがわかります。


(A)より、x の値が存在するためには、

理由を順に説明しましょう。


次の3つの場合しかありません。これら3つの、それぞれの場合で、xが存在するか
調べてみます。

１の場合


値が存在するということは、すなわち、x をその値にすれば、
(A)を満足する x が存在するということになります。



なります。数直線で見ると、以下のようになり、
(A)の範囲に、x の値が存在することがわかります。



−2　−1　0　1　2

２の場合




2の場合は、(A)を満足する x は存在しません。

３の場合


x の値を定めます。





３の場合は、(A)を満足する x は存在しません。

例えば、a＝1とすると、解説でも説明したように、数直線上で見ると、
x の共通解がないことがわかります。

−3 −2 −1 0 1 2 3

この不等式を解きます。

6(4−a)＜5(a−12)　両辺に30をかけました。
24−6a＜5a−60
−6a−5a＜−60−24
　　−11a＜−84

問2　−5≦x≦8、−7≦y≦6のとき、x＋y の範囲を求めよ。

解答
不等式の性質を思い出してください。

不等式の性質
1、a＜b のとき、a＋c＜b＋c、a−c＜b−c が成り立つ。

a＝b の場合は、等式の性質から、a＋c＝b＋c、a−c＝b−c となるので、
1と合わせて、a≦b のとき、a＋c≦b＋c、a−c≦b−c が成り立ちます。

このとき、
a＜b、c＜d のとき、a＋c＜b＋d が成り立ち、
a≦b、c≦d のとき、a＋c≦b＋d も成り立ちます。

証明すると、
1の性質から、a＜b のとき、a＋c＜b＋c
1の性質から、c＜d のとき、c＋b＜d＋b → b＋c＜b＋d

これらより、a＋c＜b＋c＜b＋d となり,
a＋c＜b＋dとなります。

すなわち、a＜b、c＜d のとき、a＋c＜b＋dとなります。

a≦b、c≦d のときも同様に証明できて、
a≦b、c≦d のとき、a＋c≦b＋dとなります。

すると、問題の不等式 −5≦x≦8、−7≦y≦6 は、

それぞれの各辺を、たすことができますから、

(−5)＋(−7)≦x+y≦8＋6 となります。

ここで、1つの法則「a≦b、c≦d のとき、a＋c≦b＋dとなります」をとりあげると、
その式の文字の中に入る数値や文字の符号は、プラスやマイナスであっても
かまわないのです。
この問題の場合、例えば、aに −5 、cに −7 、bにx、dに y が入るということです。

(−5)＋(−7)≦x+y≦8＋6
　　　　　−12≦x+y≦14

答え：−12≦x+y≦14

問3　−3＜x≦4、−5≦y＜3のとき、x＋y の範囲を求めよ。

解答
問2と似ていますが、各辺の不等号がそろっていません。
そのまま、問1のように解答するわけにはいきません。

しかし、同じように次の関係が言えます。

a＜b、c≦d のとき、a＋c＜b＋d が成り立ちます。

証明すると、
1の性質から、a＜b のとき、a＋c＜b＋c
1の性質から、c≦d のとき、c＋b≦d＋b → b＋c≦b＋d

これらより、a＋c＜b＋c≦b＋d となり,
a＋c＜b＋dとなります。

すなわち、a＜b、c≦d のとき、a＋c＜b＋dとなります。

従って、問題の式は、各辺をたして、

(−3)＋(−5)＜x＋y＜4＋3
　　　　−8＜x＋y＜7

答え：−8＜x＋y＜7

問4　−3＜x≦4、−5≦y＜3のとき、x −y の範囲を求めよ。

解答
問2や問3で導いた不等式の法則を利用できるように、不等式を変形するのが
ポイントです。

−5≦y＜3 の各辺に、−1をかけると、
−5≦yの部分は、不等号の向きが変わります。
−5×−1≧y×−1
5≧−y

y＜3の部分も変わります。
y×−1＞3×−1
−y＞−3

−5≦y＜3は、−3＜−y≦5 となります。

すると、問題の式は、−3＜x≦4、−3＜−y≦5となります。

問2で説明した法則を利用して、各辺をたすことができます。
x −y は、x から y をひいていると考えるのではなく、
x に(−y)を、たすと考えます。

(−3)＋(−3)＜x＋(−y)≦4＋5
−6＜x −y≦9

答え：−6＜x −y≦9

いかがでしたか？
確かに今までの問題に比べると難しいですが、不等式の性質をよく理解すれば、
解ける問題です。わからなかった人は、何回も繰り返して読んでください。

次回は１次関数に入ります。グラフを使いますので、
サイト上での説明が中心になります。