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Vol032　不等式　連立不等式　2007年8月11日

VOl031の問題の解説です。

問1　3(x＋1) - 5＞4x

解答
3(x＋1) - 5＞4x
3x - 2＞4x
3x - 4x ＞2　4xを左辺、-2は右辺に移動させたので、符号はそれぞれ反対になります。
-x ＞2
x ＜-2　両辺に-1をかけたので、不等式の性質3により、不等号が反対になります。

答え：x ＜-2

解答
分母をなくす(分母を1にする)やり方で式をまとめます。

-15(x - 1)≧8(x＋3)‥(1)の両辺に2と3の最小公倍数 6 をかけます。
-15x＋15≧8x＋24
-15x - 8x≧24 - 15
-23x≧9‥両辺を-23で割って、

問3　所持金が1300円あります。1個80円のりんごと、1個50円のなしを合わせて、
　　　20個買いますが、りんごをなるべく多く買いたい場合、それぞれ何個ずつ
　　　買えばよいですか。

解答
不等式を使ったほうが良いと思われる文章題も、解き方は、方程式と同じです。
すなわち、

解き方をまとめると、

1、わからない数を(求める数)文字 x で表します。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから不等式にします。
4、不等式を解きます。

方程式の部分が不等式に変わっただけです。

では、解いていきましょう。

りんごの数を x とします。

りんごの数：x
りんごの代金：80x
なしの数：20 - x
(りんごと、なしを合わせて20個買い、なしは1個以上は買うので、
　xは1個〜19個の範囲となります)
なしの代金：50(20 - x)
所持金：1300円

問題文は、1300円になるように買いなさいと言っているわけではないです。
1300円以内で、りんごの数を多く買いたいと言っています。
しかも、りんごとなしを合わせて20個という条件をつけています。

「りんごとなしを合わせて20個買い、その代金は1300円以下である」を、
不等式にすればよいわけです。

80x＋50(20 - x)≦1300
80x＋1000 - 50x≦1300
80x - 50x≦1300 - 1000
30x≦300
x≦10

となり、りんごの数は10個以下でならないことがわかります。
りんごはなるべく多くなので、答えは10個としたいところですが、
もうひとつの、りんごの数の範囲を忘れてはなりません。

すなわち、xは1〜19の範囲にも入ってないといけません。
xは1〜19の範囲であるを1≦x≦19と書きます。

x≦10と1≦x≦19の両方を満たす x の中で x の最大値を求めます。
ここで初めて、x＝10となることがわかります。なしは、20 - 10＝10個ですね。

最後にこれが、問題文を満足するかどうか確かめます。

りんごが10個、なしが10個で、合計1300円となり、問題文を満足します。

答え：りんごが10個、なしが10個

問4　容器A、Bがあり、Aには濃度2％の食塩水200gが、Bには濃度5％の食塩水150gが
　　　あります。容器Bから食塩水をスポイトで吸い取り、容器Aに移すとします。
　　　容器Aの食塩水の濃度が3％以上になるためには、容器Bから何グラムの食塩水を
　　　移せばよいですか。

解答
容器Bから移す食塩水の量を x グラムとします。

容器Bから移す食塩水の量：x グラム　(x≦150　Bの容器にそれしかないから)
x グラム中の食塩の量：0.05x
容器Aの食塩水の濃度：4グラム　(200×0.02)
容器Bから容器Aに食塩水をxグラム移した後の容器Aの食塩水の食塩の量：4＋0.05x
容器Bから容器Aに食塩水をxグラム移した後の容器Aの食塩水の量：200＋x

「容器Aの食塩水の濃度が3％以上になる」を不等式にします。


4＋0.05x≧0.03(200＋x) ‥(1)の両辺に200＋xをかけます。
4＋0.05x≧6＋0.03x
0.05x - 0.03x≧6 - 4
0.02x≧2
x≧100

よって、
xが100 (グラム)以上であれば、不等式が成り立つ。
すなわち、容器Aの食塩水の濃度が3％以上になります。
また、その100グラムは、x≦150 (容器Bの食塩水は150グラムしかない)も
満たしているので、答えは、100グラムとなる。

最後にこれが、問題文を満足するかどうか確かめます。

答え：容器Bから100グラムの食塩水を移せばよい。

問5　ある商品を売ろうと思うが、定価の15％引で売っても、20％以上の利益が出る
　　　ようにしたい。ある商品の定価を原価の何％増し以上としたらよいか。
　　　(％上の少数第１位を四捨五入して、答えよ。例えば20.53‥％以上だったら
　　　21％以上と答える)

解答
商品の定価を原価のx％増しとます。

定価と原価の関係を説明します。
(定価 - 原価)÷原価を％で表したものを仮にn％とすると、
定価は原価のn％増しと言います。

ここで、原価をmとします。原価をある文字でおいてないと、式がたてられません。

商品の原価：m (円)

商品を定価の15％引で売っても、20％以上の利益が出る。
とは、「商品を定価の15％引で売っても、原価の20％以上増しとなる」です。

100×{(15％引の定価 - 原価)÷原価}≧20 (％)

x≧41.17‥

問題の要求では、％上の少数第１位を四捨五入します。41.17‥は41とします。
つまり、原価の41％以上増しで売れば、商品を定価の15％引で売っても、
20％以上の利益が出ます。

答え：原価の41％増し以上とすればよい。

いかがでしたか？
問5は、ちょっと難しかったかも知れません。
求める値を文字で表す以外に、「文字で表すものが必要」となるケースです。
でも、単に数で表す代わりに文字で表したにすぎません。
その後、その文字を消去して、普通の不等式になります。

では、連立不等式に入ります。

複数の不等式(未知数 x についての)を組み合わせたものを連立不等式と言います。
連立不等式を解くとは、それらの複数の不等式の全てを満足する未知数 x の範囲を
求めることです。

次の連立不等式を見てください。

x＋2＞5 ‥(1)
x＋7＞5 ‥(2)

(1)を解くと、x＞3となります。
(2)を解くと、x＞-2となります。

ここで、(1)と(2)を満たす x の範囲は、x＞3となります。

数直線上で考えるとよくわかります。

2つの x の範囲が重なるところが答えとなります。

　　　　　　　　　 ○-------→　x＞3
　　○-----------------→　x＞-2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x＞3の部分が重なってますね。

連立不等式の答えは、x＞3となります。

次の連立不等式を解いてください。

問1　x＋4＞5
　　　x＋4≧5

問2　x＋4＞5
　　　x＋2＜8

問3　3(x＋5)＞7
　　　2(x＋8)＞5

問4　9(x＋3)＞4(x＋9)
　　　-8(x＋3)＞28

問5　2x＋6＞4
　　 -7(x＋2)＞-6

問6　5x＋3＞-2(x - 8)＞3

次回は、問題の解答と、引き続き連立不等式です。