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Vol031　不等式　2007年8月4日

VOl030の問題の解説です。

その前に不等式の性質について復習しましょう。

不等式の性質
1、a＜b のとき、a＋c＜b＋c、a - c＜b - c が成り立つ。

また、不等式も、１次方程式の解法の時にやった移項の性質が成り立ちます。
すなわち、数や文字式を、不等号を境に右辺(右側)から左辺(左側)に、
または、左辺から右辺に移動させることができます。
移動させると、数や文字式の符号は、移動する前の反対になります。

解答
両辺に21をかけます。

20x＋100≧105
　　　　20x≧105 - 100
　　　　20x≧5

この式は、めるまがVol029、課題の問2で
「濃度x％の食塩水200gに塩を10g入れたが、濃度は5％以上になった」を
不等式に表したものでした。

つまり、x≧0.25であれば、この不等式が成り立つわけです。
すなわち、0.25％以上の濃度の食塩水200gであれば、塩を10g入れた場合、
濃度は5％以上になるということです。

解答
両辺にxをかけて、
1750＜65x
両辺を65で割って、

この式は、めるまがVol029、課題の問3で
「x人いるクラスの数学の点の合計点は1750点だった。自分は65点だった。
自分の点は、クラスの平均点を超えていた」を
不等式に表したものでした。

すなわち、クラスの人数が27人以上であれば、自分の点(65点)は、クラスの平均点を
超えるということです。

いかがですか？
１次方程式では、等式なので、等式が成り立つための未知数の解が１つ決まります。
不等式では、不等号が成り立つための未知数の解は、１つではないということです。
上の問題で言えば、問1では、0.25％以上の濃度であれば、不等式を満たすので、
x＝0.3 (0.3％)でも、x＝0.4 (0.4％)でもよいのです。
しかし、いちいち、ひとつひとつの解をあげていたらきりがないので、
何々より大きいとか小さいとか、何々以上、何々以下というように表します。

ここで、わからない数を x と置いて、
不等式が、ax＋b＞0、ax＋b＜0、ax＋b≧0、ax＋b≦0、(aは0でない)と書けるとき、
これらの不等式は、xにおける１次不等式と言います。

１次不等式の解き方ですが、移項については、１次方程式の解き方と何ら変わりは
ありません。

ただ、両辺に負の数をかけたり、割ったりしたときは、不等号が逆になるという
ことを忘れてはなりません。

では、次の不等式を解いてください。

問1　3(x＋1) - 5＞4x

次の問題を解いてください。

問3　所持金が1300円あります。1個80円のりんごと、1個50円のなしを合わせて、
　　　20個買いますが、りんごをなるべく多く買いたい場合、それぞれ何個ずつ
　　　買えばよいですか。

問4　容器A、Bがあり、Aには濃度2％の食塩水200gが、Bには濃度5％の食塩水150gが
　　　あります。容器Bから食塩水をスポイトで吸い取り、容器Aに移すとします。
　　　容器Aの食塩水の濃度が3％以上になるためには、容器Bから何グラムの食塩水を
　　　移せばよいですか。

問5　ある商品を売ろうと思うが、定価の15％引で売っても、20％以上の利益が出る
　　　ようにしたい。ある商品の定価を原価の何％増し以上としたらよいか。
　　　(％上の少数第１位を四捨五入して、答えよ。例えば20.53‥％以上だったら
　　　21％以上と答える)

次回は、問題の解答と、引き続き不等式です。