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Vol030 連立方程式 不等式 2007年7月25日
VOl029の問題の解説です。
では、次の数量の関係を不等式で表してください。
問1 時速10kmで走っているA君は、x 分走った。走った距離は2kmに足りなかった。
解答
距離は、速度×時間ですね。
時速10kmは、60分に10km走るわけだから、x 分に走る距離は、
これが2kmに足りなかったのだから、
問2 濃度x％の食塩水200gに塩を10g入れたが、濃度は5％以上になった。
解答
塩を10g入れたので、塩を加えた後の食塩水の塩の量は、2x＋10 (g)
塩を10g加えた後の食塩水の量は、200＋10＝210 (g)
よって、塩を加えた後の食塩水の濃度(％)は、
食塩水の濃度＝(塩の量÷食塩水の量)×100から、
これが、5％以上になったのだから、
問3 x人いるクラスの数学の点の合計点は1750点だった。自分は65点だった。
自分の点は、クラスの平均点を越えていた。
解答
自分の点は、クラスの平均点を越えていたのだから、
では、数量の関係を不等号で表せるようになったところで、
不等式の性質について説明します。
a＜b のとき、a＋c＜b＋c、a - c＜b - c
が成り立つ。
すなわち、不等式の両辺に同じ数を足したり、引いたりしても、不等号の向きは
変わりません。
具体例で見ると、
3＜5 のとき、両辺に2を足しても、3＋2＜5＋2 → 5＜7、
両辺から、2を引いても、3 - 2＜5 - 2 → 1＜3 ですね。
不等式の両辺に同じ正の数をかけたり、割ったりしても、不等号の向きは
変わりません。
具体例で見ると、
4＜8 のとき、両辺に2をかけても、4×2＜8×2 → 8＜16、
次に、
不等式の両辺に同じ負の数をかけたり、割ったりした場合、不等号の向きは
反対になります。
具体例で見ると、
4＜8 のとき、両辺に-2をかけると、4×-2＝-8、8×-2＝-16
よって、-8＞-16
両辺を-2で割ると、4/-2＜8/-2 → -2＞-4 となり、これも反対になります。
まとめると、
1、a＜b のとき、a＋c＜b＋c、a - c＜b - c が成り立つ。
です。
最後の3が成り立つことを証明したいと思いますが、
その前に移項の性質を説明します。
不等式も、１次方程式の解法の時にやった移項の性質が成り立ちます。
移項についての説明は、めるまがVol023をご覧ください。
すなわち、数や文字式を不等号を境に右辺(右側)から左辺(左側)に移動させると、
数や文字式の符号は反対になるということです。
ac - bc＝c(a - b)‥(1)
ここで、a＜bから、a＜bの b を左辺に移項して、a - b＜0、すなわち、a - bは負の数に
なります。また、c＜0なので、cは負の数です。
従って、a＜b 、c＜0ならば、(1)のc(a - b)は、負×負となり、正となります。
つまり、c(a - b)＞0
ac - bc＝c(a - b)なので、ac - bc＞0となり、-bcを右辺に移項させて、
ac＞bcとなります。
よって、a＜b 、c＜0ならば、ac＞bcとなります。証明終わり。
不等式の性質を理解したところで、不等式を解くということを理解しましょう。
本めるまがの最初にやった問1の
「時速10kmで走っているA君は、x 分走った。走った距離は2kmに足りなかった」を
では、では、この不等式が成り立つような x の範囲を調べてみましょう。
具体的に数字で、例えば、10分走った場合、この不等式が成り立つでしょうか。
10分を不等式に入れてみると、
では、15分走った場合は、
でも、1つ1つ数を入れて試すわけにはいきませんから、
x は何々の範囲なら、この不等式を満たすという風にしたいですね。
不等式を満たす x のような文字(未知数)の値の範囲を不等式の解と言います。
この解を求めることを不等式を解くと言います。
では、実際に不等式を解いてみましょう。
解き方は、１次方程式を同じ要領です。
すなわち、文字式を左辺にまとめて、数を右辺にまとめます。
x＜12
すなわち、xは12より小さければ、走った距離が2km未満になるということです。
では、次の不等式を解いてください。
いずれも、前回のめるまがの問題の答えの式です。
次回は、問題の解答と、引き続き不等式です。