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Vol028　連立方程式　2007年7月15日

VOl027の問題の解説です。

連立方程式の文章題も、考え方は基本的に１元１次方程式と同じです。

文章題の解き方の基本は、

1、わからない数を(求める数)文字 x、y で表します。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから、
2つの等式を作ります。これらの等式は、互いに違う側面から作ります。
4、方程式を解きます。

問1　A君は本屋で、あるマンガ本を何冊か買いました。A君が買ったマンガ本一冊の
　　 値段は320円です。A君は5000円札を出して、おつりをもらいました。
　　 友達B君は、違うマンガ本を何冊か買いました。B君が買ったマンガ本一冊の
　　 値段は350円です。B君は、10000円札を出しておつりをもらいました。
　　 A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりより、4150円少なかったそうです。
　　 また、A君とB君が買ったマンガ本を合わせると12冊になります。
　　 A君とB君が買ったマンガ本の冊数はそれぞれ、何冊ですか？

解答
1、わからない数を(求める数)文字 x、y で表します。

　 問題で求めているA君とB君が買ったマンガ本の冊数をそれぞれ x、yとします。

2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。

　 A君が買ったマンガ本の冊数：x
　 B君が買ったマンガ本の冊数：y
　 A君とB君が買ったマンガ本の合計冊数：12
　 A君が買ったマンガ本の値段：320x
　 B君が買ったマンガ本の合計：350y
　 A君のもらったおつり：5000−320x
　 B君のもらったおつり：10000−350y
　 A君のもらったおつりとB君のもらったおつりの差：4150

3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから、
2つの等式を作ります。これらの等式は、互いに違う側面から作ります。

　 A君とB君が買ったマンガ本を合わせると12冊である。

　 x＋y＝12 ‥(1)

　 A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりより、4150円少ない。

　 5000−320x＝10000−350y−4150 ‥(2)

　 これで、2つの方程式ができました。

4、方程式を解きます。

　 (1)より、x＝12 −y　これを(2)に代入します。

　 5000−320(12−y)＝10000−350y−4150
　　　　　 320y＋350y＝10000−4150−5000＋3840
　　　　　　　　　　670y＝4690
　　　　　　　　　 　　　y＝7

　 x＝12−yから、x＝5

答え：A君が買ったマンガ本の冊数は5冊、B君が買ったマンガ本の冊数は7冊
　　　逆に、このとき題意を満たす。

問2　ある直線の道路があります。この道路のそれぞれの端にA君、B君がいます。
　　　A君、B君は向き合う形で同時に走りだし、それぞれ端まで行き、同じ事を
　　　繰り返します。
　　　1回目、A君、B君が同時に出発して、40秒後にすれちがいました。
　　　2回目、A君、B君が同時に出発して、35秒後にすれちがいました。
　　　1回目のA君のスピードは、2回目のA君のスピードの2分の1です。
　　　1回目のB君のスピードは、2回目のB君のスピードの2倍です。
　　　1回目のA君、B君のそれぞれのスピードを求めなさい。　
　　　道路の長さは280mとします。

解答
1回目のA君、B君のそれぞれのスピードを x m/s、y m/s とします。

1回目のA君のスピード： x m/s
1回目のB君のスピード： y m/s
1回目のA君とB君がすれちがうまでの時間：40秒後
1回目のA君とB君がすれちがうまで、A君が進んだ距離：40x
1回目のA君とB君がすれちがうまで、B君が進んだ距離：40y
2回目のA君のスピード： 2x m/s
2回目のB君のスピード： y/2 m/s
2回目のA君とB君がすれちがうまでの時間：35秒後
2回目のA君とB君がすれちがうまで、A君が進んだ距離：70x　(2x ×35)

道路の長さ：280m

1回目のA君とB君がすれちがうまで、A君とB君がそれぞれ進んだ距離を合わせると、
道路の長さに等しい。

40x＋40y＝280 ‥(1)

2回目のA君とB君がすれちがうまで、A君とB君がそれぞれ進んだ距離を合わせると、
道路の長さに等しい。

方程式を解きます。

(1)の両辺を40で割って、x＋y＝7‥(1) x＝7−yと変形して、
(2)に代入します。

　　　 -140y＋35y＝ -420
　　　　　　　-105y＝ -420
　　　　　　　-105y＝ -420
　　　　　　　　　　y＝ 4

x＝7−yから、x＝3

答え：1回目のA君のスピードは、3 m/s、1回目のB君のスピードは、4 m/s
　　　逆に、このとき題意を満たす。

問3　食塩水が入った容器が2つあります。容器Aの食塩水30gと、容器Bの食塩水20gを
　　　 取り出し混ぜたら、6.2％の食塩水ができました。
　　　 次に、容器Aに入っている食塩水24gと、容器Bの食塩水26gを取り出し混ぜたら、
　　　 6.56％の食塩水ができました。容器A、Bのそれぞれの食塩水の濃度を求めなさい。

解答
容器A、Bのそれぞれの食塩水の濃度をそれぞれ、x％、y％とします。

容器Aの食塩水の濃度：x％
容器Bの食塩水の濃度：y％
容器Aの食塩水30gに含まれる食塩の量：30x/100
容器Bの食塩水20gに含まれる食塩の量：20y/100
容器Aの食塩水30gと容器Bの食塩水20gを混ぜたときの食塩水の濃度：6.2％
容器Aの食塩水24gに含まれる食塩の量：24x/100
容器Bの食塩水26gに含まれる食塩の量：26y/100
容器Aの食塩水24gと容器Bの食塩水26gを混ぜたときの食塩水の濃度：6.56％

容器Aの食塩水30gと容器Bの食塩水20gを混ぜたときの食塩水の濃度は6.2％である。

容器Aの食塩水24gと容器Bの食塩水26gを混ぜたときの食塩水の濃度は6.56％である。

(1)の両辺に1000をかける。

　　　　　　　　6x＋4y＝62 ‥(3)

(2)の両辺に10000をかける。

　　　　　　　48x＋52y＝656 ‥(4)

(3)の両辺を8倍して、(4)を引く。

　　48x＋32y＝496
−)48x＋52y＝656
　　　　　-20y＝-160
　　　　　　　 y＝8

y＝8を(3)に代入して、x＝5

答え：容器Aの食塩水の濃度は、5％、容器Bの食塩水の濃度は、8％
　　　逆に、このとき題意を満たす。

問4　2桁の数Aがあります。十の位の数と一の位の数を足すと、8になります。
　　　例えば、2桁の数が71であれば、7＋1＝8という意味です。
　　　この数の一の位と十の位を交換した数を数Bとします。
　　　すると、数Aから数Bを引くと、36になります。数Aを求めなさい。

解答
数Aは、2桁の数であるから、十の位の数を x、一の位の数を yとおくことができます。

数Aの十の位の数：x
数Aの一の位の数：y
数Aそのもの：10x＋y
数Aの十の位の数と一の位の数との和：8
数Bの十の位の数：y
数Bの一の位の数：x
数Bそのもの：10y＋x
数Aから数Bを引いた数：36

数Aの十の位の数と一の位の数との和は8である。

x＋y＝8 ‥(1)

数Aから数Bを引いた数は36である。

10x＋y−(10y＋x)＝36
10x＋y−10y−x＝36
9x−9y＝36 ‥(2)

(1)から、x＝8−y

これを(2)に代入。

9(8−y)−9y＝36
72−9y−9y＝36
　　　　-18y＝ -36
　　　　　　 y＝2

x＝8−yより、x＝6

答え：数Aは62、逆に、このとき題意を満たす。

問5　360立方センチメートルのケーキがあります。これをA君、B君に、ある割合で、
　　　分けて置いておきました。しかし、優しいB君は自分のケーキを40立方センチ
　　　メートル切って、A君にあげました。
　　　すると、A君とB君のケーキの割合は23：22になりました。
　　　もともと分けて置いた2人のそれぞれのケーキの体積を求めなさい。

解答
もともと分けて置いた2人のそれぞれのケーキの体積を x 立方センチメートル、
y 立方センチメートルとします。

ケーキの体積：360立方センチメートル
もともとのA君のケーキの体積：x 立方センチメートル
もともとのB君のケーキの体積：y 立方センチメートル
B君がA君にあげたケーキの体積：40立方センチメートル
B君があげた後のA君とB君のケーキの割合：23対22

A君のケーキの体積とB君のケーキの体積の和は360立方センチメートルである。

x＋y＝360 ‥(1)

B君があげた後のA君とB君のケーキの割合は23対22である。

(x＋40)：(y−40)＝23：2から、

両辺に、(y−40)及び、22をかける。

22(x＋40)＝23(y−40)
22x＋880＝23y−920
22x−23y＝ -1800 ‥(2)

(1)より、x＝360−y
これを(2)に代入。

22(360−y)−23y＝ -1800
22(360−y)−23y＝ -1800
　　　　-22y−23y＝ -1800−7920
　　　　　　　　-45y＝ -9720
　　　　　　　　 　　y＝ 216

x＝360−yより、x＝144

答え：もともとのA君のケーキの体積は144立方センチメートル、
　　　B君は216立方センチメートル。逆に、このとき題意を満たす。

いかがでしたか？

実は、これらの問題は全て、連立方程式でなくても、文字が１つだけの方程式である
１元１次方程式で解ける問題です。ただし、どちらの方が解きやすいかといった事は、
あります。

問3の食塩水の濃度の問題は、文字を2つで、連立方程式をたてた方が、文字を1つで
やるよりも式がたてやすいです。

それは、問題文の説明にしたがって、そのままを式にしやすいという事です。
すなわち、「食塩水が入った容器が2つあります。‥6.2％の食塩水ができました」を
１つ目の式、次に、「容器Aに入っている食塩水24gと、‥6.56％の食塩水ができま
した」を２つ目の式にしています。

これが、例えば、容器Aの食塩水の濃度を x ％としただけでは、ちょっと、その先、
どう展開してよいか、考えてしまいます。確かに容器Bの食塩水の濃度を x を使って
表すことはできますが、式が面倒です。(実際にやってみるとよいと思います)

ところで、文字を2つ使う場合は、２元１次方程式が１つだけでは、
文字の値を得ることはできません。
つまり、もうひとつ、違う側面から２元１次方程式をたてる必要があることを
忘れてはなりません。

では、次に文字が３つの連立方程式を説明します。
文字が３つの方程式を３元１次方程式と言います。

２元１次方程式の連立方程式は、式が2つでしたが、
３元１次方程式は、式が3つです。逆に3つないと、文字の値が1つに定まりません。
３元１次方程式の連立方程式の解き方は、基本的に２元１次方程式の連立方程式の
場合と同じです。

すなわち、文字を消去していって、1つだけにして、それを求めてから、他の文字を
求めるのです。

実際にやってみましょう。

次の連立方程式を解きなさい。

x＋y＋z＝10 ‥(1)
x−y＋2z＝11 ‥(2)
4x＋y−z＝9 ‥(3)

解き方としては、1文字消去して、２元１次方程式の連立方程式の形にすることです。
何を消すかは、消しやすい文字で良いのです。この場合、yを消すことにします。

まず、(1)と(2)を足します。

　 　 x＋y＋z＝10
＋)x −y＋2z＝11
　　　　2x＋3z＝21 ‥(4)

xとzだけの２元１次方程式ができました。

次に、(2)と(3)を足します。

　　x−y＋2z＝11
＋)4x＋y −z＝9
　　　　　5x＋z＝20 ‥(5)

もうひとつのxとzだけの２元１次方程式ができました。

　 2x＋3z＝21

(1)と(2)の連立方程式を解きます。下段の式の両辺を3倍して。
上の式から下の式を引きます。

　 　2x＋3z＝21
−)15x＋3z＝60
　　　　-13x＝-39
　　　　　　 x＝3

x＝3を(1)または(2)の式に代入して、z＝5
これらを(1)の式に代入して、y＝2

最後にこれらの数値を、(2)、(3)にも代入して、等式が成り立つかを確認して、
終わりです。

答え：x＝3、y＝2、z＝5

２元１次方程式を2つ作る際、(1)と(2)から1つ、(2)と(3)から1つと作りましたが、
もちろん、他の組み合わせからでもOKです。

このように、文字が3つでも、まず、1つを消去して、2つにして、さらに1つを
消去して、1文字の数を求めます。

次の連立方程式を解きなさい。

問1　x＋2y＋3z＝4
　　 -x＋3y−5z＝15
　　　2x−4y−z＝-2

問2　　x＋2y＝8
　　　 -y＋3z＝16
　　　　 z−4x＝15

次回は、問題の解答と、不等式です。