TOP>HTML形式メルマガバックナンバー>Vol027 連立方程式
無料ファイルダウンロード
有料学習案内
学習塾等に頼るか？独学か？
数学参考書・問題集
小学算数復習編
∟整数の計算
∟少数の計算
∟分数の計算
∟量
∟割合
∟比例
∟図形
∟応用
中学数学
∟正負の計算
∟文字式
∟無理数と平方根
∟方程式
∟不等式
∟関数
∟確率
∟図形
高校数学
∟数と式
∟方程式と不等式
∟関数
∟図形と計量
∟図形と方程式
∟ベクトル
∟数列
∟行列
∟極限
∟微分法
∟積分法
∟確率と統計
∟命題
現在発行しているメルマガは、テキスト形式です。
しかし、数式が本来の形で、表示できないこともあり、
このサイトでは、バックナンバーの内容を本来の数式の表示になおして公開しています。
Vol027 連立方程式 2007年7月4日
VOl026の問題の解説です。
次の連立方程式を解いてください。代入法、加減法のどちらでもよいです。
問1 x＋8y＝25
7x＋2y＝13
解答
代入法で解く場合
x＋8y＝25
x＝25 - 8y
これを、7x＋2y＝13に代入します。
7(25 - 8y)＋2y＝13
175 - 56y＋2y＝13
-54y＝-162
y＝3
y＝3を、x＝25 - 8yに代入し、
x＝25
- 24
x＝1
加減法で解く場合
x を消去することにします。まず、上段の式の両辺に7をかけます。
7(x＋8y)＝7×25
7x＋56y＝175
次に上段の式から、下段の式を引きます。
7x＋56y＝175
-)7x＋2y＝13
54y＝162
y＝3
後は代入法と同じ
(最後に必ず、xとyの値が正しいかどうか確認します)
答え：x＝1、y＝3
問2 3x＋4y＝6
15x＋2y＝-6
解答
xとyには係数(文字の前の数)があるので、すんなり、x＝、又は、y＝とは
ならないので、加減法で解きます。もちろん、代入法でやってもかまいません。
x を消去することにします。まず、上段の式の両辺に5をかけます。
5(3x＋4y)＝5×6
15x＋20y＝30
次に、その両辺に5をかけた後の上段の式から、下段の式を引きます。
15x＋20y＝30
-)15x＋2y＝-6
18y＝30-(-6)
18y＝36
y＝2
y＝2を、3x＋4y＝6に代入し、
3x＋4×2＝6
3x＋8＝6
3x＝-2
問3 3x＋6y＝10
5x＋4y＝14
解答
加減法で解く場合
xを消去するため、上段の式の両辺に5をかける。下段の式の両辺には、3をかける。
5(3x＋6y)＝5×10
15x＋30y＝50
3(5x＋4y)＝3×14
15x＋12y＝42
次に、かけた後の上段の式から、かけた後の下段の式を引きます。
15x＋30y＝50
-)15x＋12y＝42
18y＝8
両辺を3倍して、
9x＋8＝30
9x＝22
問4 x＋6y＝2x＋5
9x＋4y＝15 - 2y
解答
文字式は、左辺に、数は右辺に移項します。
問題の式は、次のようになります。
-x＋6y＝5
9x＋6y＝15
次に上段の式から、下段の式を引きます。
-x＋6y＝5
-)9x＋6y＝15
-10x＝-10
x＝1
x＝1を-x＋6y＝5に代入して、
-1＋6y＝5
6y＝6
y＝1
答え：x＝1、y＝1
問4と問5が重複してました。
問6 0.2x＋0.3y＝0.5x＋12
3x＋6y＝10 - y
解答
上段の式の両辺に、10をかけて文字式の係数を整数にします。
10(0.2x＋0.3y)＝10(0.5x＋12)
2x＋3y＝5x＋120
文字式は、左辺に、数は右辺に移項します。
-3x＋3y＝120 <-上段の式
3x＋7y＝10 <-下段の式
次に上段の式と下段の式を足して、x を消します。
-3x＋3y＝120
+)3x＋7y＝10
10y＝130
y＝13
y＝13を、3x＋7y＝10に代入します。 (-3x＋3y＝120でもかまいません)
3x＋7×13＝10
3x＋91＝10
3x＝-81
x＝-27
答え：x＝-27、y＝13
解答
これは、分母が文字になっています。
x、yはともに0ではないということを前提に、x＝の式に直して、
代入法で解くという方法もありますが、
問題の式は、
と同じですから、
2Ｘ＋3Ｙ＝15
3Ｘ＋6Ｙ＝8
となり、通常の連立方程式の形とすることができます。
あとは、これを解いて、ＸとＹを求めたら、
加減法で解きます。
問題の式は、Ｘを消去するため、上段の式の両辺に3をかける。
下段の式の両辺に2をかける。
6Ｘ＋9Ｙ＝45
6Ｘ＋12Ｙ＝16
次に上段の式から、下段の式を引きます。
6Ｘ＋9Ｙ＝45
-)6Ｘ＋12Ｙ＝16
-3Ｙ＝29
6Ｘ＝132
Ｘ＝22
では、連立方程式の文章題に移ります。
連立方程式の文章題も、考え方は基本的に１元１次方程式と同じです。
文章題の解き方の基本は、
1、わからない数を(求める数)文字
x、y で表します。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから、
2つの等式を作ります。これらの等式は、互いに違う側面から作ります。
4、方程式を解きます。
では、実際の問題でやってみましょう。
問題 りんごとみかんを合わせて15個買いました。りんご1個の値段は、100円です。
みかん1個の値段は、20円です。15個の値段は、1100円です。
買ったりんごとみかんのそれぞれの個数を求めなさい。
1、わからない数を(求める数)文字
x、y で表します。
ここでは、すなおに、りんごの個数を x、みかんの個数を、yとします。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
りんごの数：x
みかんの数：y
買った個数：15
りんご1個の値段：100円
みかん1個の値段：20円
15個の値段は、1100円です。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから、
2つの等式を作ります。これらの等式は、互いに違う側面から作ります。
個数の側面から等式を作ります。りんごの数とみかんの数を合わせると、
15個である。
x ＋ y＝15
値段の側面から等式を作ります。りんごとみかんの値段を合わせると、
1100円である。
100x＋20y＝1100
4、方程式を解きます。
x ＋ y＝15
100x＋20y＝1100
上段の式から、y＝15
- x
下段の式に代入して、
100x＋20(15
- x)＝1100
100x＋300 - 20x＝1100
80x＝800
x＝10
y＝15 - x から、y＝5
最後に、求めた値が正しいか問題の式に入れて確かめます。
正しい場合は題意を満たすことになります。
答え：りんごの個数は10、みかんの個数は5、逆に、このx、yは題意を満たす。
では、次の問題を連立方程式を使って解きなさい。
問1 A君は本屋で、あるマンガ本を何冊か買いました。A君が買ったマンガ本一冊の
値段は320円です。A君は5000円札を出して、おつりをもらいました。
友達B君は、違うマンガ本を何冊か買いました。B君が買ったマンガ本一冊の
値段は350円です。B君は、10000円札を出しておつりをもらいました。
A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりより、4150円少なかったそうです。
また、A君とB君が買ったマンガ本を合わせると12冊になります。
A君とB君が買ったマンガ本の冊数はそれぞれ、何冊ですか？
問2 ある直線の道路があります。この道路のそれぞれの端にA君、B君がいます。
A君、B君は向き合う形で同時に走りだし、それぞれ端まで行き、同じ事を
繰り返します。
1回目、A君、B君が同時に出発して、40秒後にすれちがいました。
2回目、A君、B君が同時に出発して、35秒後にすれちがいました。
1回目のA君のスピードは、2回目のA君のスピードの2分の1です。
1回目のB君のスピードは、2回目のB君のスピードの2倍です。
1回目のA君、B君のそれぞれのスピードを求めなさい。
道路の長さは280mとします。
問3 食塩水が入った容器が2つあります。容器Aの食塩水30gと、容器Bの食塩水20gを
取り出し混ぜたら、6.2％の食塩水ができました。
次に、容器Aに入っている食塩水24gと、容器Bの食塩水26gを取り出し混ぜたら、
6.56％の食塩水ができました。容器A、Bのそれぞれの食塩水の濃度を求めなさい。
問4 ある2桁の数Aがあります。十の位の数と一の位の数を足すと、8になります。
例えば、2桁の数が71であれば、7＋1＝8という意味です。
この数の一の位と十の位を交換した数を数Bとします。
すると、数Aから数Bを引くと、36になります。数Aを求めなさい。
問5 360立方センチメートルのケーキがあります。これをA君、B君に、ある割合で、
分けて置いておきました。しかし、優しいB君は自分のケーキを40立方センチ
メートル切って、A君にあげました。
すると、A君とB君のケーキの割合は23：22になりました。
もともと分けて置いた2人のそれぞれのケーキの体積を求めなさい。
次回は、問題の解答と、引き続き連立方程式です。