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Vol026　１次方程式　連立方程式　2007年6月24日

VOl025の問題の解説です。

ここで、文章題の解き方の基本は、

1、わからない数を(求める数)文字 x で表します。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから等式にします。
4、方程式を解きます。

です。

問1　底辺の横が7cm、縦が5cmの直方体があります。この直方体に、水が入っています。
　　　 底に穴を空け、そこから1分間に2立方センチメートルの割合で水がもれていきま
　　　 した。数分後、底をふさぎました。次に、1分間に7立方センチメートルの割合で、
　　　 上から水を入れていきました。入れた時間は、底に穴を空け、ふさぐまでの時間と
　　　 同じです。すると、一番最初に水がはってあった時の水位(水の高さ)より、
　　　 3cm高くなりました。底に穴を空け、ふさぐまでの時間を求めなさい。

解答
この問題、条件に
「ただし、直方体の容器の壁の厚さを考えないものとする」という文言を
入れるのを忘れてました。実際は壁の厚さがありますからね。
でも、皆さんは、最初から考えないで、やっていただけたと思います。

問題を読むと、「底に穴を空け、ふさぐまでの時間」と「上から水を入れた時間」は、
同じだとあります。底に穴を空け、ふさぐまでの時間を x (分)と表せば、
上から水を入れた時間も x となります。

数量を書き出します。

もれた水の体積＝分あたりに出て行く水の量×時間(分)
入れた水の体積＝分あたりに入れる水の量×時間(分)

なので、

底に穴を空け、ふさぐまでの時間：x
上から水を入れた時間：x
穴を空けてもれた水の体積：2x (立方センチメートル)
上から入れた水の体積：7x (立方センチメートル)
3cm分の高さの水の体積：105 (立方センチメートル、7×5×3ですね)

等式を作ります。

穴を空けてもれた水の体積と3cm分の高さの水の体積の合計は、
上から入れた水の体積に等しい。

2x＋105＝7x
　　　-5x＝-105
　 　　　x＝21 (分)

答え：底に穴を空け、ふさぐまでの時間は21分、逆に、このときに、題意を満たす。

問2　ある3桁の数Aがあります。十の位の数は、一の位の数より3多く、百の位の数は、
　　 十の位の数より、2多いです。この数の一の位と百の位を交換した数を数Bと
　　 します。すると、数Aと数Bを足したものは、1000より213少ないです。
　　 数Aを求めなさい。

解答
数Aそのものを x とおくことはできません。数Aそのものを x とおくと、他の数量を
表すことができません。問題では、それぞれの桁の数が、お互いにいくつ差があるかを
示していますから、桁の数そのものを x とします。これによって、
数Aそのものも x で表すことができます。
ここでは、数Aの一の位の数を x とおきます。

ここで、例えば、456は、100×4＋10×5＋6と分解できます。それを理解した上で、
数量を書き出します。

数Aの一の位の数：x
数Aの十の位の数：x＋3
数Aの百の位の数：x＋5 (x＋3＋2)
数Aそのものの値：100(x＋5)＋10(x＋3)＋x
数Bの一の位の数：x＋5
数Bの十の位の数：x＋3
数Bの百の位の数：x
数Bそのものの値：100x＋10(x＋3)＋(x＋5)
数Aと数Bを足したもの：787 (1000 - 213)

等式を作ります。

数Aと数Bを足したものは、787に等しい。

100(x＋5)＋10(x＋3)＋x＋100x＋10(x＋3)＋(x＋5)＝787
222x＋565＝787
　　　　222x＝222
　　　　　　 x＝1

数Aの一の位の数が 1 となるので、これを、上の数量の式に入れて、
数Aの十の位の数＝1＋3＝4
数Aの百の位の数＝1＋5＝6

数Aは641となります。

答え：数Aは641、逆に、このときに、題意を満たす。

問3　ケーキがあります。これをA君、B君に、5：3の割合で分けて、置いておきました。
　　 しかし、誰かが、B君のケーキを80立方センチメートル食べてしまったので、
　　 A君とB君の残ったケーキの割合は3：1になってしまいました。
　　 B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積を求めなさい。

解答
B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積を x とおいてもいいですが、
全体のケーキの体積もわかっていなくて、しかも、全体のケーキを分けてA君、B君の
体積がでることから、全体のケーキの体積を x とおいたほうが式が立てやすそうです。
よって、全体のケーキの体積を x (立方センチメートル)とおきます。

数量を書き出します。

誰かが食べたB君のケーキの体積：80立方センチメートル

B君が食べられた後のA君、B君のケーキの体積の割合：3対1

等式を作ります。

B君が食べられた後のA君、B君のケーキの量の割合は3対1に等しい。
つまり、こうなります。

　　x＝480

よって、全体のケーキの体積は480立方センチメートルとなります。
B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積は、最初に分けた時の割合
(5：3の3の方です)の分なので、

B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積は180立方センチメートルとなります。

答え：B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積は180立方センチメートル、
　　　逆に、このときに、題意を満たす。

問4は、メルマガでは配信しなかった問題です。
問4　コップAには、2％の濃度の食塩水が50g、コップBには、3％の濃度の食塩水が30gあります。
　　　コップAから、ある量の食塩水をとって、コップBに加えました。次に、コップBから、
　　　同じ量の食塩水をとって、コップAに加えました。すると、コップAの食塩水の濃度は、
　　　2.15％となりました。コップAとコップBからとった食塩水の量を求めなさい。

解答
食塩水の濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ

コップAとコップBからとった食塩水の量を x とします。

他の数量を書き出します。

コップAから、とった xgの食塩水の食塩の量：0.02x
コップAからとった食塩水を加える前のコップBの食塩の量：0.9(ｇ)
コップAからとった食塩水をコップBに加えたあとのコップBの食塩水の量：x＋30


コップAから、最初にxgとった後のコップAの食塩水の食塩の量：0.02(50 - x)
コップAから、xgの食塩水をとってコップBに加え、次にコップBからxgの食塩水をとって
コップAに加えた後の、コップAの食塩水の量：50（g)
x(g)とって、x(g)加えているから、50（g)のままです。
コップAから、xgの食塩水をとってコップBに加え、次にコップBからxgの食塩水をとって
コップAに加えた後の、コップAの食塩水の濃度：0.0215

等式を作ります。

コップAから、xgの食塩水をとってコップBに加え、次にコップBからxgの食塩水をとって
コップAに加えた後の、コップAの食塩水の濃度は0.0215に等しい。

両辺に50をかけます。





両辺に（ｘ＋.30）をかけます。





ｘ＝10

答え：コップAとコップBからとった食塩水の量は、10ｇ

いかがでしたか？
方程式の文章題というのは、文章を正確に読み取って、何を x と表して、
それぞれの数量を正確に書き出していくかにかかっています。
一見関係ないようですが、本をたくさん読み、
しかも、考え想像しながら読む習慣をもっている人は数学にも強くなります。
文章を読み取る力がつくからです。

連立方程式に入ります。

今までは、文字が x という１つだけの方程式をやってきました。
これからやるのは、文字が２つの方程式です。

文字が２つの１次方程式を２元１次方程式と言います。
ということは、文字が１つだけの方程式は１元１次方程式となります。
今までやった１次方程式がそうです。

2x＋1＝5という１元１次方程式の場合は、これを満たすxの値は 2 であると
１つだけ決まります。ところが、２元１次方程式の場合は、例えば、

2x＋y＝5 とすると、これを満たす x と y の値は、いくらでもあります。

x＝1、y＝3とか、x＝2、y＝1とか、x＝3、y＝-1とか、きりがありません。

このように、２元１次方程式の場合は、これを満たすxとyの値は無限にあるのです。
では、この２元１次方程式の他に、もう１つの２元１次方程式をも満たすxとyを
求めよという場合はどうなるでしょうか？

つまり、

2x＋y＝5
3x＋y＝8

の２つの２元１次方程式を満たすxとyはどうなるでしょうか？
この式を解くと、答えは、x＝3、y＝-1となります。

それぞれの式に代入してみてください。正しいことが解ります。

つまり、１元１次方程式の場合と同じように、値が１つだけ決まりました。

2x＋y＝5
3x＋y＝8

のように、複数の方程式を組み合わせたものを連立方程式と言います。

２元１次方程式は１つだと、それを満たすxとyの値は無限だが、
２つだと、xとyのそれぞれ値が１つ決まることがあります。

値が１つ決まるとうのは、頼りない言い方かも知れませんが、決まらない場合も
あるからです。

例えば、次のような場合、

2x＋y＝5
2x＋y＝8

これは、両方の２元１次方程式を満たすx、yは存在しません。

グラフで見ると一目瞭然ですが、このテキストメルマガだとグラフの説明が
できません。というより、グラフはこれから先に習う関数の領域なんですが、
それを理解していると、よく解るんです。

とりあえず、満たさない場合もあるということも頭に入れておきましょう。

でも、一般に連立方程式といったら、xとyのそれぞれ値が１つ決まるという前提で
理解してもらってかまいません。

さて、連立方程式というものを理解したところで、連立方程式の解き方をやります。
連立方程式を解くとは、すなわち、複数の方程式を満たすxとyの値を求めることです。

では、連立方程式の解き方をやりましょう。

連立方程式の場合、文字が２つあるので、式を、x＝などと、まとめても、y が他辺に
あるので、数値が出せず、うまくいきません。
解くためには、前号まで習った１元１次方程式のように、文字を１つだけにすれば、
まず、その１つの文字の値が求められます。

すなわち、文字を１つ消去する必要があるわけです。

この方法は、２つあります。１つは代入法というものです。
実際にやってみましょう。

次の連立方程式を解きなさい。

x＋y＝5　(１番目の式)
3x＋y＝9 (２番目の式)

では、代入法を使います。

１番目の式、x＋y＝5の式の y を移項させて、x＝5−yとします。

次に、このx＝5−yを、２番目の式、3x＋y＝9の x に代入します。

3(5−y)＋y＝9

どうです。yだけの１次方程式になりました。あとは、yを求めればよいのです。

3(5−y)＋y＝9
15−3y＋y＝9
　　　　-2y＝9−15
　　　　-2y＝-6
　　　　　y＝3

y＝3を、x＝5−yに代入すると、x＝5−3＝2

よって、x＝2、y＝3

答えが正しいかどうか、連立方程式のそれぞれに代入して確かめます。
正しければ、それが答えとなります。
求めた後で、必ず確認する習慣をつけてください。

答え：x＝2、y＝3

では、次に加減法で解いてみます。xを消去します。

x＋y＝5　(１番目の式)
3x＋5y＝9 (２番目の式)

１番目の式、x＋y＝5の両辺に3をかけます。

3(x＋y)＝3×5
3x＋3y＝15

１番目の式は、3x＋3y＝15に変形できました。

3x＋3y＝15　(１番目の式)
3x＋5y＝9 　 (２番目の式)

となりました。

Vol023　2007年6月3日号の等式の性質を利用します。

A＝Bのとき、A-C ＝ B-C が成り立ちます。

3x＋3yがAで、15がBで、3x＋5yと9は等しいので、3x＋5yと9は、共にCとみることが
できます。

１番目の式の左辺から、２番目の式の左辺を引き、
１番目の式の右辺から、２番目の式の右辺を引きます。

3x＋3y−(3x＋5y)＝15−9

上の式は、そのまま移項して解いてもよいですが、
下記のように同じ文字式どうし、数どうしで引いていくと簡単です。
１番目の式から２番目の式をそれぞれの単位(文字式、数)ごとに引いていきます。
-)は、１番目の式から２番目の式を引くと言う意味です。
3xから3xを引いて0(0は省略)、3yから5yを引いて、-2y、15から9を引いて6

　3x＋3y＝15
-)3x＋5y＝9
　　　 -2y＝6
　　　　　y＝-3

y＝-3を、１番目の式、x＋y＝5に代入すると、x＝5＋3＝8

さて、なぜ、最初に１番目の式、x＋y＝5の両辺に3をかけたかというと、
上の式で明らかなように、xを消去するためだったのです。

つまり、１番目の式のxの文字式と２番目の式のxの文字式を同じ、つまり3xにして、
xを消去して、yだけの式にしたのです。

このように、文字式をそろえて、加減して文字を消去するやり方を加減法と言います。

では、次の連立方程式を解いてください。代入法、加減法のどちらでもよいです。

問1　x＋8y＝25
　　 7x＋2y＝13

問2　3x＋4y＝6
　　　 15x＋2y＝-6

問3　3x＋6y＝10
　　　 5x＋4y＝14

問4　x＋6y＝2x＋5
　　　 9x＋4y＝15 - 2y

問5　問4と重複してました。

問6　0.2x＋0.3y＝0.5x＋12
　　　 3x＋6y＝10 - y

次回は、問題の解答と、引き続き連立方程式です。