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Vol025　１次方程式応用　2007年6月20日

VOl024の問題の解説です。

ここで、文章題の解き方の基本は、

1、わからない数を(求める数)文字 x で表します。
2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから等式にします。
4、方程式を解きます。

です。

問1　A君は本屋で、あるマンガ本を1巻から5巻まで5冊買いました。
　　 　どれも同じ値段です。A君は5000円札を出して、おつりをもらいました。
　　 　一緒にいた友達B君は、同じマンガ本を6巻から8巻まで3冊買いました。
　　 　B君は、2000円札を出しておつりをもらいました。
　　 　A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりより、2300円多かったそうです。
　　 　マンガ本1冊の値段はいくらですか？

解答
基本に沿って、解いていきましょう。
1、わからない数を(求める数)文字 x で表します。

この問題で、求めているのは、マンガ本1冊の値段です。これを x(円) とおけば、
他の数量も書き出すことができそうです。

2、問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。
数量として表わせるものを書き出します。

マンガ本1冊の値段：x(円)
A君が出したお金：5000(円)
マンガ本5冊の値段：5x(円)
B君が出したお金：2000(円)
マンガ本3冊の値段：3x(円)
A君のもらったおつり：5000−5x
B君のもらったおつり：2000−3x
A君のおつりは、B君のおつりよりいくら多いか：2300(円)

3、わからない数と他の数量の関係を数学的な表現に直してから等式にします。

問題の最後の一文は、
「A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりに2300円を足したものに等しい」
と直すことができます。等式を作ります。

5000−5x＝(2000−3x)＋2300

4、方程式を解きます。

5000−5x＝(2000−3x)＋2300
5000−5x＝4300−3x
　-5x＋3x＝4300−5000
　　　　-2x＝-700
　　　　　 x＝350

よって、マンガ本1冊の値段は350円

答え：マンガ本1冊の値段は350円で、逆に、このときに題意を満たします。

題意(だいい)とは、問題が定義したこと、すわなち、問題で出した条件を言います。
具体的には、以下の事です。

「マンガ本を1巻から5巻まで5冊買いました。
どれも同じ値段です。A君は5000円札を出して、おつりをもらいました。
一緒にいた友達B君は、同じマンガ本を6巻から8巻まで3冊買いました。
B君は、2000円札を出しておつりをもらいました。
A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりより、2300円多かったそうです」

マンガ本1冊の値段350円は、上の問題文の条件を全て満たすということです。

方程式で求めた結果は、題意を満たすかどうか確かめる事が必要です。
すなわち、問題文の条件を全て満たすかどうか確かめるのです。
計算間違いがなければ、通常は正しいのですが、中には、方程式で出した答えが、
必ずしも題意を満たすとは限らない場合があります。
常に求めっぱなしにしないで確認する習慣をつけましょう。

実際の解答では、正しい事を確かめた上で、
上記のように、

「逆に、〜のときに、題意を満たす。」

という文を入れます。そのような意味なら、他の書き方もOKです。

別解答
さて、上の解答では、マンガ本1冊の値段を x とおきましたが、
A君のもらったおつりを x とおいても解くことができます。
そうすると、B君のもらったおつりは、x−2300(円)と表すことができますね。

数量を表すと、

マンガ本1冊の値段：x
A君が出したお金：5000(円)
A君のもらったおつり：x
マンガ本5冊の値段：5000−x(円)

B君が出したお金：2000(円)
B君のもらったおつり：x−2300(円)
マンガ本3冊の値段：2000−(x−2300)(円)

等式は、解答のやり方のものを使うと、どうなるでしょうか？
「A君のもらったおつりは、B君がもらったおつりに2300円を足したものに等しい」

x＝x−2300＋2300
x＝x

となって、この等式は、どんな x でも成り立つので、x を求めることはできません。

数量を見ると、等式として使えるのが、マンガ本1冊の値段であることが分かります。
つまり、「A君側から出したマンガ本1冊の値段と、B君側から出したマンガ本1冊の
値段は等しい」ということです。等式を作ります。

両辺に15をかけます。
　3(5000−x)＝5{2000−(x−2300)}
　15000−3x＝21500−5x
　-3x＋5x＝21500−15000
　　　　　2x＝6500
　　　　　　x＝3250

よって、A君のもらったおつりは、3250円となります。

マンガ本1冊の値段は、350円となります。
逆に、マンガ本1冊の値段が350円のときに、題意を満たします。

以上からも分かるように、必ずしも問題で求めるものを x とおく必要はありません。
違った角度から、問題を解くということも覚えておきましょう。
ただし、この問題に限って言えば、最初の解答の方が、すんなりと、
問題の求めるものを出すことができます。

問2　何本かのジュースがあります。これを家族の一人一人に5本ずつ配ると、
　　　 3本余ります。6本ずつ配ると、最後の1人は、4本足りなくなります。
　　　 ジュースの数は全部で何本ですか？

解答
何を x とおくかですが、ジュースの数を x とおきましょう。

問題の中で、示されている数量を、全部、書き出します。

5本ずつ配った場合のジュースの余りの数：3

5本ずつ配ると、3本余るのだから、ジュースの数から、3本を引いた数、すなわち
x - 3(本)は、家族の人数×5本ということになります。



6本ずつ配った場合のジュースの不足の数：4

6本ずつ配ると、最後の1人は、4本足りなくなるのだから、ジュースの数に4本を
加えた数、すなわち、x＋4(本)は、家族の人数×6本ということになります。


等式をつくります。

それぞれの場合(5本ずつ配った場合と、6本ずつ配った場合)の家族の数は等しいので、



方程式を解きます。

両辺に、5と6をかけて、

6(x−3)＝5(x＋4)
6x−18＝5x＋20
6x−5x＝20＋18
　　　　x＝38

ジュースの数は38本

答え：ジュースの数は38本で、逆に、このときに、題意を満たす。

別解答
家族の人数を x とおきます。

他の数量は、
5本ずつ配った場合のジュースの余りの数：3
5本ずつ配った場合のジュースの数：5x＋3
6本ずつ配った場合のジュースの不足の数：4
6本ずつ配った場合のジュースの数：6x - 4

ジュースの数は同じですが、2通りの表現ができました。

等式をつくります。

5本ずつ配った場合も、6本ずつ場合でもジュースの数は同じなので、

5x＋3＝6x−4
5x−6x＝-4−3
　　　-x＝-7
　　　　x＝7

よって、家族の人数は7人、
これを、5x＋3、または6x−4の式に代入すると、
ジュースの数は、38となる。

問3　A君は時速14kmで自転車に乗って、ある地点を出発しました。
　　　 4分後、B君も同じ地点から自転車で出発しました。すると、B君が出発してから、
　　　 8分後に、B君はA君に追いつきました。B君の速さは時速何kmですか？
　　　 A君、B君とも、同じ方向に、直線に進んでいるとします。

解答
B君の速さを時速 x (km/h)とおきます。

ここで、速さ＝距離÷時間、(速さ×時間＝距離)という公式を理解している
必要があります。

理科で習いましたよね。速さを求めるには、距離と時間が必要です。
それを理解した上で、数量を書き出します。

他の数量を書き出します。
A君の速度：時速14km
B君が出発した時、A君が走った時間：4分
B君が出発してから、B君がA君に追いついた時までの時間：8分
A君が出発してから、B君がA君に追いついた時までの時間：12分 (4分＋8分)
B君がA君に追いついた時、A君が走った距離：2.8km (14×12/60)

数量の最後のA君が走った距離ですが、時速14kmは、60分で14km走るので、
分単位の走行距離を出すには、60分で割る必要があります。

等式を作ります。

B君が8分で走った距離は、A君が走った距離に等しい。
B君の速さを時速とおいたので、60で割る必要があります。

8x＝168
　x＝21

よって、B君の速さは時速21km

答え：B君の速さは時速21km。逆に、このときに、題意を満たす。

問4　A君は、ある仕事をするのに5分かかります。B君は、その仕事をするのに、
　　 3分かかります。では、2人でその仕事をしたら、何分で終わりますか？

解答
この問題は、仕事の量＝仕事の速さ×時間、という考えが必要です。

例えば、仕事が、ある地点から、他の地点まで、荷物を運ぶ事だとします。
すると、仕事の量とは、荷物をどれだけ運んだかと考えることができます。
A君は、1分で5個運べるとすると、A君の仕事の速さは、分速5個となるので、
3分間でA君が運んだ荷物の量(仕事の量)は、分速5個×3(分)＝15個となります。

上の式からも解る様に、時間＝仕事の量÷仕事の速さ、となり、
仕事の量と仕事の速さから時間を求めなくてはいけないのです。

A君が仕事にかかる時間5分とB君が仕事にかかる時間3分を足して、
2で割って、答え4分などと、安易に考えてはいけない事がわかりますね。
時間どうしを足して2で割るのではなく、仕事の量を仕事の速さで割るのです。

このように理解した上で、問題を解いていきます。

まず、2人でその仕事をして、かかる時間を x 分とします。
ある仕事の量を 1 とします。全体の仕事の量は決まっているので、
どんな数でもよいです。(文字でもよいです)

他の量を書き出します。
仕事の速さ＝仕事の量÷時間なので、

先に説明した荷物運びの例を考えれば、A君とB君で一緒にやる場合の1分あたりの
仕事の量(速さ)は、それぞれの1分あたりの仕事の量(速さ)を足せばよいと分かります。

等式を作ります。

A君とB君で一緒に仕事を x 分やったら、ある仕事が終わった。
つまり、「A君とB君で一緒に x 分にやる仕事の量は、ある仕事の量に等しい」

A君とB君で一緒に x 分にやる仕事は、一緒にやる仕事の速さ×時間です。



ある仕事の量は 1 だから、

問5　6％の濃度の食塩水30gに、ある濃度の食塩水20gを加えたら、5％の食塩水が
　　 　できた。加えた食塩水20gの濃度は何パーセントですか？

解答
食塩水の濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ

加えた食塩水20gの濃度を x パーセントとします。

他の量を書き出します。



混ぜた後の5％の食塩水の重さ：50g (30g＋20g)

等式を作ります。

6％の濃度の食塩水30gと、ある濃度の食塩水20gを混ぜた食塩水の濃度、
すなわち5％は、その混ぜた2つの食塩水の食塩の重さを、混ぜた後の食塩水の重さで
割ったものである。

両辺に100をかけて、





両辺に5をかけて、

25＝18＋2x
-2x＝18−25
-2x＝-7
　　x＝3.5

よって、加えた食塩水20gの濃度は3.5％

答え：加えた食塩水20gの濃度は3.5％、逆に、このときに、題意を満たす。

いかがでしたか？
問4あたりは、単純そうに見えて、実はしっかりと考えないと解答できない問題です。
しかし、他の問題もそうですが、わからないものを求めるには、表現できる数量を
しっかり書き出していけば、等式がつくれます。逆に等式が作れないということは、
数量の書き出しが不十分ということになります。

では、次の問題を解いてください。

問1　底辺の横が7cm、縦が5cmの直方体があります。この直方体に、水が入っています。
　　　 底に穴を空け、そこから1分間に2立方センチメートルの割合で水がもれていきま
　　　 した。数分後、底をふさぎました。次に、1分間に7立方センチメートルの割合で、
　　　 上から水を入れていきました。入れた時間は、底に穴を空け、ふさぐまでの時間と
　　　 同じです。すると、一番最初に水がはってあった時の水位(水の高さ)より、
　　　 3cm高くなりました。底に穴を空け、ふさぐまでの時間を求めなさい。

問2　ある3桁の数Aがあります。十の位の数は、一の位の数より3多く、百の位の数は、
　　　 十の位の数より、2多いです。この数の一の位と百の位を交換した数を数Bと
　　　 します。すると、数Aと数Bを足したものは、1000より213少ないです。
　　　 数Aを求めなさい。

問3　ケーキがあります。これをA君、B君に、5：3の割合で分けて、置いておきました。
　　　 しかし、誰かが、B君のケーキを80立方センチメートル食べてしまったので、
　　　 A君とB君の残ったケーキの割合は3：1になってしまいました。
　　　 B君の最初に食べれるはずであったケーキの体積を求めなさい。

次回は、問題の解答と、連立方程式です。