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Vol021 文字式の計算 2007年5月27日
Vol020の問題の解説をします。
問1 Tという円柱があります。円の半径をa、円柱の高さをhとしたとき、
円柱の表面積と体積を、aとhで表しなさい。(円周率をπとします)
解答
円周の長さと面積の公式は、
円周の長さ＝直径×π
円の面積＝半径×半径×π
円柱の表面積と体積は、それぞれ、
円柱の表面積＝円柱の上下の円の表面積＋柱の部分の表面積
円柱の体積＝円の面積×円柱の高さ
ですね。
さらに具体的に表すと、
円柱の表面積＝(円の半径の2乗×円周率)×2＋円柱の高さ×(円の直径×円周率)
円柱の体積＝(円の半径の2乗×円周率)×円柱の高さ
(円の半径の2乗×円周率)×2の2は、上下の円の表面積ですから、2倍ということです。
さて、ここまで具体的に表したら、あとは与えられた文字を使って文字式をつくるだけです。
円柱Tの表面積からいきましょう。
円柱の高さ×(円の直径×円周率)＝h×(2a×π)＝2ahπ
上の式では、×の連続計算は交換法則が成り立ちますから、数字は先頭に、
文字は基本的にアルファベット順にします。πのような、ある特定の数値を表すような
特殊な文字は最後にもっていきます。
円柱Tの体積を表しましょう。
問2 Wという円柱があります。円の半径を2a、円柱の高さを2hとしたとき、
円柱の表面積と体積を、aとhで表しなさい。
解答
これも、問1と同じ考え方で解きます。
文字式を作るところから、説明します。
円柱Wの表面積からいきましょう。
円柱の高さ×(円の直径×円周率)＝2h×(2×2a×π)＝8ahπ
円柱Wの体積を表しましょう。
問3 問1の円柱Tの表面積は、問2の円柱Wの表面積の何倍ですか？
解答
分配の法則によって、共通の数や、文字を外に出して、かっこで、くくって表すことができましたね。
初めての方は下記の号をみてください。
Vol010 2007年4月14号、又は2007年4月17号の修正版
Vol015 2007年4月30号
さて、何倍かということなので、円柱Tの表面積を円柱Wの表面積で割ればいいですね。
分数の形にして、
分母、分子に共通の数、または文字があれば、それで割るのが約分ですね。
文字は文字式の形の場合もあるわけです。
何倍とかいうと、普通、2倍とか3倍とか、大きいほうへ考えがちですが、
小さいほうになる場合もありますから、思い込みで問題を解くと、思わぬ間違いを
することがあります。
問4 問1の円柱Tの体積は、問2の円柱Wの体積の何倍ですか？
解答
問5 nを整数とします。偶数をnを使って表しなさい。
解答
整数とはVol004 2007年3月3日号でも説明しましたが、
整数とは、0に1ずつ、足していくか、または、1ずつ引いていくかして得られる数を言います。
つまり、‥ -3、-2、-1、0、1、2、3、‥を整数と言います。
-3、-2、-1のように数字の前にマイナスがついているものを負(ふ)の整数と言い、
3、2、1のように数字の前に何もついていないものを正(せい)の整数と言います。
偶数は、2で割って、その結果が整数のものをいいます。
すなわち、2で割り切れる整数を言います。
具体的には、‥ -6、-4、-2、0、2、4、6、‥ですね。
ということは、2で割り切れる整数というのは、2の倍数であるということになります。
つまり、‥
2×(-3)、2×(-2)、2×(-1)、2×0、2×1、2×2、2×3、‥
と表すことができます。
2にかける数は、整数ですね。整数をnとしているので、
偶数は、2×n、すなわち2nとなります。nは、整数の色々な値が入ります。
答え：2n
問6 nを整数とします。奇数をnを使って表しなさい。
解答
これも、問1と同じ考え方でいきます。
奇数は、2で割って、その結果が整数でないものをいいます。
すなわち、2で割り切れない整数を言います。
具体的には、‥ -5、-3、-1、1、3、5、‥ですね。
ということは、2で割り切れない整数というのは、2の倍数に1を足した数(または1を引いた数)
ということになります。
つまり、
‥ 2×(-3)＋1、2×(-2)＋1、2×(-1)＋1、2×0＋1、2×1＋1、2×2＋1、‥
と表すことができます。
2にかける数は、整数ですね。整数をnとしているので、
奇数は、2×n＋1、すなわち2n＋1となります。nは、整数の色々な値が入ります。
答え：2n＋1
問7 連続する3つの整数を、それぞれ、整数nを使って表しなさい。
解答
連続しているわけですから、1ずつ、差があるということになります。
ある整数をnとすると、連続する次の整数は、n＋1、または、n-1と表すことができます。
n＋1、または、n-1の次の整数は、n＋2、または、n-2と表すことができます。
よって、3つの連続する整数は、n、n＋1、n＋2
または、n、n-1、n-2のように表すことができます。
n＋1を最初の数として、残りの連続する整数を大きいほうへ表すと、n＋2、n＋3となります。
さらに、nを真ん中の数として、連続する整数を表すと、n-1、n、n＋1となります。
つまり、何を何番目かにすることによって、答えは様々です。連続していれば正解です。
ここでの解答は、n-1、n、n＋1とします。
答え：n-1、n、n＋1
問8 連続する3つの整数の和は、ある数の倍数になります。何の倍数になりますか？
解答
問7で求めた、3つの整数を利用します。
連続する3つの整数の和は、(n-1)＋n＋(n＋1)＝3n
よって、3の倍数となります。
本当？と思う方は、具体的な数で試してください。
このように、数ではなく、文字を使うことによって、色々な法則が証明されます。
この場合の法則は、
「連続する3つの整数の和は、3の倍数となる」
ですね。
次号は無理数と平方根です。