数学に強くなりたいあなたへ　＜中学数学・高校数学＞

TOP>HTML形式メルマガバックナンバー>Vol002　最小公倍数・最大公約数

現在発行しているメルマガは、テキスト形式です。
しかし、数式が本来の形で、表示できないこともあり、
このサイトでは、バックナンバーの内容を本来の数式の表示になおして公開しています。

Vol004　最小公倍数・最大公約数　2007年3月3日

前号(Vol003)の解答、解説を行う予定でしたが、今回は最大公約数、最小公倍数の
解説のみとします。解説が多くなった関係です。次号では、問題の解答を行います。

まず、最大公約数の説明をします。

例えば、Aという整数(ただし0ではない)と、Bという整数(ただし0ではない)があった
場合、Aの約数でもあると同時に、Bの約数でもある整数をAとBの公約数と言い、
公約数の中で、最大の整数を最大公約数と言います。

整数とは？

整数とは、0に1ずつ、足していくか、または、1ずつ引いていくかして得られる数を
言います。

つまり、‥-3、-2、-1、0、1、2、3、‥を整数と言います。
-3、-2、-1のように数字の前にマイナスがついているものを負(ふ)の整数と言い、
3、2、1のように数字の前に何もついていないものを正(せい)の整数と言います。
正の数は、数の前に＋が省略されていると考えてください。
では、2つの整数、8と6で、最大公約数の例を見ましょう！

8と6の公約数（正の整数だけ）を全て求めます。整数1から6まで順番に、
公約数かどうか調べていきましょう。

えっ、何故、8まで調べないかって？
7以上の整数は、6の約数になりえません。8と6の、どちらにも約数となる整数を
調べるのですから、小さいほうの6でストップです。

8と6の公約数を小さい順に並べました。

整数　1　->　8÷1＝8、6÷1＝6、となり、1は8と6の約数、
　　　　　　　　つまり公約数であることがわかります。
整数　2　->　8÷2＝4、6÷2＝3、となり、2は8と6の約数、
　　　　　　　　つまり公約数であることがわかります。
整数　3　->　8÷3＝2.66‥、6÷3＝2、となり、3は8の約数ではありません。
　　　　　　　　よって、3は公約数ではありません。
整数　4　->　8÷4＝2、6÷4＝1.5、となり、4は6の約数ではありません。
　　　　　　　　よって、4は公約数ではありません。
整数　5　->　8÷5＝1.6、6÷5＝1.2、となり、5は8と6の両方の約数ではありません。
　　　　　　　　よって、5は公約数ではありません。
整数　6　->　8÷6＝1.33‥、6÷6＝1、となり、6は8の約数ではありません。
　　　　　　　　よって、6は公約数ではありません。
全部調べたところで、8と6の公約数を左から小さい順に並べます。

1、2

上の2つしかありませんでした。最大公約数は公約数の一番大きい数ですから、
8と6の最大公約数は、2となります。

今は2つの整数の最大公約数の例でしたが、もちろん3つの整数でも、4つの整数でも、
とにかく、公約数の最大の数を最大公約数と言います。

もう一度まとめると、最大公約数とは、
2つ以上の整数に、共通な約数を公約数と言い、その公約数の中で、最大の公約数を
最大公約数と言います。

さて、では、どうやって最大公約数を求めるかですが、上の例で、1から順に調べると、
少し数が大きいと時間がかかって大変です。次の方法をとります。

整数が2つの場合
やり方は、共通の約数で、どんどん割っていく方法です。
20と16の最大公約数を求めましょう。
20と16の共通の約数(1ではない)として、まず2で割れるのはすぐに分かるので、
2で割ります。20は2で割って10となり、16は2で割って8となります。
それを下図の様に書きます。---は実際は直線です。単なる境界線です。

　　　2　)　20　　16
　　　　　-----------
　　　　　　10　　　8

次に割った結果の10と8はさらに割れることが分かりますね。つまり、
また、2で割れるわけです。これも、上と同じように割って、書くと下の様になります。

　　　2　)　20　　16
　　　　　-----------
　　　2　)　10　　　8
　　　　　-----------
　　　　　　　5　　　4　　　（←5と4の約数はない）

さて、また同じように、割った結果の5と4をさらに割れる数で割ろうと思いますが、
これは、もう共通の約数が1以外にないことがわかりますね。

ここで、共通に割れる数がないので、ストップします。
では、最大公約数はどうやって求めるか？　最大公約数の出し方は、上の図の様に、
共通の割れる数がないところまでやったら、左側の縦の数(割った数)を、
全てかけた数が最大公約数となります。
つまり、上の場合、2と2をかけた数、すなわち2×2＝4となり、4が最大公約数と
なります。何故だろう？

上の式から、20と16は、以下の形になることがわかります。

20は下の様に分解されました。
20は2×10、さらに10は2×5、つまり、20＝2×2×5

16は下の様に分解されました。
16は2×8、さらに8は2×4、つまり、16＝2×2×4

このように見ると、2×2の部分が共通の最大約数であることが分かります。

では、整数が3つ以上の場合は、どうやって最大公約数を求めるかですが、
整数が2つのときと全く同じようにやっていきます。
20と16と8の最大公約数を求めましょう。
20と16と8の共通の約数で、まず2で割れるのはすぐに分かるので、2で割ります。
20は2で割って10となり、16は2で割って8となり、8は2で割って4となります。
それを下図の様に書きます。

　 　2　)　20　　16　　　8
　　　　　-------------
　　　　　　10　　8　　　4

次に割った結果の10と8と4はさらに割れることが分かりますね。
つまり、また、2で割れるわけです。
これも、上と同じように割って、書くと下の様になります。

　　　2　)　20　　16　　　8
　　　　　-------------
　　　2　) 　10　　8　　　4
　　　　　-------------
　　　　　　　5　　　4　　　2

次に割った結果の5と4と2ですが、4と2はさらに割れることが分かりますが、
3つとも共通した約数が1以外にありません。ここでストップになります。

左側の縦の数(割った数)を、全てかけた数が最大公約数となるので、
つまり、上の場合、2と2をかけた数、すなわち2×2＝4となり、
4が最大公約数となります。

上の式から、20と16と8は、以下の形になることがわかりますね。

20は下の様に分解されました。
20は2×10、さらに10は2×5、つまり、20＝2×2×5

16は下の様に分解されました。
16は2×8、さらに8は2×4、さらに4は2×2、つまり、16＝2×2×4

8は下の様に分解されました。
8は2×4、さらに4は2×2、つまり、8＝2×2×2

このように見ると、2×2の部分が共通の最大公約数であることが分かります。

最小公倍数の説明をします。

例えば、Aという正の整数と、Bという正の整数があった場合、AとBの共通の倍数を
公倍数と言い、公倍数の中で、最小の公倍数(正の整数)を最小公倍数と言います。

では、2つの整数、2と4で、最小公倍数の例を見ましょう！

2と4の公倍数（正の整数だけ）をいくつか求めます。整数4から順番に、

公倍数かどうか調べていきましょう。

整数　4　->　4＝2×2、4＝4×1、となり、4は2と4の倍数、
　　　　　　　　つまり公倍数であることがわかります。
整数　5　->　5＝2×2.5、5＝4×1.25、となり、5は2と4の倍数ではなく、
　　　　　　　　つまり公倍数ではありません。
整数　6　->　6＝2×3、6＝4×1.5、となり、6は4の倍数ではなく、
　　　　　　　　つまり公倍数ではありません。
整数　7　->　7＝2×3.5、7＝4×1.75、となり、7は2と4の倍数ではなく、
　　　　　　　　つまり公倍数ではありません。
整数　8　->　8＝2×4、8＝4×2、となり、8は2と4の倍数、
　　　　　　　　つまり公倍数であることがわかります。

公倍数が2つ求められたので、ここでストップします。最小の公倍数を求めるわけ
なので、本当は最初の公倍数が出たところでストップしてよいわけです。　

2と4の公倍数を左から小さい順に並べます。　

4、8、‥

最小公倍数は公倍数の一番小さい数ですから、最小公倍数は、4となります。

もう一度まとめると、最小公倍数とは、
「2つ以上の正の整数に、共通な倍数を公倍数と言い、その公倍数の中で、
最小の正の整数の公倍数を最小公倍数と言います」

さて、では、どうやって最小公倍数を求めるかですが、
実は最大公約数を求めるやり方を使います。

整数が2つの場合
共通して割れる数で、どんどん割っていきます。
例として、20と16の最小公倍数を求めましょう。
20と16の共通の約数(1ではない)で、まず2で割れるのはすぐに分かるので、
2で割ります。
20は2で割って10となり、16は2で割って8となります。それを下図の様に書きます。

　 　2　)　20　　16
　　　　　--------
　　 　　　10　　　8

次に割った結果の10と8はさらに割れることが分かりますね。
つまり、また、2で割れるわけです。
これも、上と同じように割って、書くと下の様になります。

　 　2　)　20　　16
　　　　　---------
　　 2　)　10　　　8
　　　　　---------
　　　　　 　5　　　4　（←5と4の約数はない）

さて、また同じように、割った結果の5と4をさらに割れる数で割ろうと思いますが、
これは、もう共通の約数が1以外にないことがわかりますね。ここでストップです。

左側の縦の数(割った数)と一番下の行のそれぞれの数をかけたものが最小公倍数と
なります。

すなわち、左側の数である2と2と、一番下の行の数である5と4をかけたもの。

(2×2)×5×4＝80　最小公倍数は80となります。

(　)は分かりやすくするためにつけてあるだけです。

(2×2)×5×4の内、(2×2)×5は20で、(2×2)×4は16だから、(2×2)×5×4は、
20と16の公倍数だと分かりますね。

ここで、80より、さらに小さい公倍数があるのではと、思われる人もいるかも
知れません。でも、それはありえないのです。

仮に80より、小さい公倍数があると仮定します。
仮定より、その公倍数は次のようにあらわされます。
a、bはそれぞれ正の整数とする。

まず、公倍数だから、20と16の倍数であり、かつ等しいから、

1、(2×2×5)×a=(2×2×4)×b

次に、その公倍数は80より小さいから

2、(2×2×5)×a<(2×2)×5×4　「A<B」はAはBより小さいという意味です。
3、(2×2×4)×b<(2×2)×5×4

1より、(5/4)×a=b　　（5/4は5÷4の意味）
2、3より、a<4、b<5

4と5は互いに約数がないので、分数の形のままです。
つまり、bが整数であるためには、aは4の倍数でなければならない。

ところが、a<4より、aは4の倍数になりえないので、bは整数になりえない。
これは、bが正の整数であるという仮定に反する。
つまり、80より小さい公倍数があると仮定すると、矛盾がおこるわけです。

この証明は本来は具体的な数値ではなく、文字を使った証明が正しいですが、
分かりやすくするため、数値のままやりました。

以上の証明は理解できなくても一向にかまいません。今後学ぶ文字式、不等式や、
証明の考え方でふれるような事です。

さて、次に整数が3つの場合の最小公倍数はどうやって求めるでしょうか？
整数が3つの場合、3つとも共通して割れる数がなくても、2つでも、
共通して割れる数があったら、どんどん割っていきます。

例として、20と16と8の最小公倍数を求めましょう。
20と16との8の共通の約数(1ではない)で、まず2で割れるのはすぐに分かるので、
2で割ります。
20は2で割って10となり、16は2で割って8となり、8は2で割って4となります。
それを下図の様に書きます。

　　2　)　20　　16　　8
　　　　　-----------
　　　　　　10　　8　　4

次に割った結果の10と8と4はさらに割れることが分かりますね。
つまり、また、2で割れるわけです。
これも、上と同じように割って、書くと下の様になります。

　　2　)　20　　16 　8
　　　　　----------
　　2　)　10　　8　　4
　　　　　----------
　　　　　 5 　　4　　 2

さて、また同じように、割った結果の5と4と2をさらに割れる数で割ろうと思いますが、
4と2を2で割れますが、5はどれとも、共通した約数がありません。
この場合は、5はそのまま、下に降ろし、4と2を2で割ります。

　　2　)　20　　16 　8
　　　　　----------
　　2　)　10　　8　　4
　　　　　----------
　　2　)　 5 　　4　　2
　　　　　----------
　　　　　　5　　2　　1

また同じように、割った結果の5と2と1をさらに割れる数で割ろうと思いますが、
5と2と1では、共通の約数は無く、また、どの2つをとっても、共通の約数は
ありません。つまり、ここでストップとなります。

左側の縦の数(割った数)と一番下の行のそれぞれの数をかけたものが最小公倍数と
なります。
すなわち、左側の数である2と2と2と、一番下の行の数である5と2と1をかけたもの。

(2×2×2)×5×2×1＝80　最小公倍数は80となります。

( )は分かりやすくするために、つけてあるだけです。

整数が3つ以上の最小公倍数を求めるときは、とにかく、2つ以上の数で共通した
約数があれば、どんどん割っていきます。
割れなかった数は、そのまま下に降ろしていきます。