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集合の要素の個数－問題編5－
問題編4でやった、例題の3つの集合の場合です。わかっている要素の個数から、
わからない要素の個数の範囲を求めるというものです。
集合‐例題11
集合‐例題11 解説（1）
ベン図を作成する前に、集合どうしの関係を理解します。
各集合の重なる部分や、重ならない部分の定義をはっきりとさせます。
調査の対象となったグループ全体の集合：Ｓとする
数学が好きな人の集合：Ａとする
国語が好きな人の集合：Ｂとする
理科が好きな人の集合：Cとする
数学も国語も好きな人の集合：Ａ∩Ｂ
国語も理科も好きな人の集合：B∩C
理科も数学も好きな人の集合：C∩A
数学も国語も理科も好きな人の集合：Ａ∩Ｂ∩C
べン図を作成します。（例題11-1図参照）
問題で定義している人数を書き込み、わからない
人数は文字で表します。
線で囲まれているところに1文字を配置します。
（図のp、q、r、s、t、u、v、w）
「全部嫌い」の数 w は、
w＝n（S）－n(A∪B∪C)＝68－n(A∪B∪C)
ここで、w＝0をとりうると仮定すると、n(A∪B∪C)＝68
n（A）＋n（B）＋n（C）＝34＋40＋23＝97＞68なので、s、t、u、v のいずれかの値が存在し、
p、q、r、s、t、u、vが、n(A∪B∪C)＝p＋q＋r＋s＋t＋u＋v＝68となるような値をとり得る。
例えば、s、t、u、vをそれぞれ5、5、5、7とすると、p＝34－s－v－u＝17、同じ要領で、q＝23、r＝6
このとき、n(A∪B∪C)＝68 よって、wの最低値は、0となります。
では、w の最大値はどうか？
Wが最大になるときは、n(A∪B∪C)が最小になるときです。
n(A∪B∪C)が最小になるときというのは、すなわち、B⊃A、かつB⊃Cのときです。
このとき、w＝n（S）－n(A∪B∪C)＝68－40＝28
よって、0≦d≦28
逆にこのときに、題意を満たす。
答え：全部嫌いな人の人数の範囲は、28人以下である。
集合‐例題11 解説（2）
2科目だけ好きな人の要素の個数は、例題11-1図の s、t、u の部分です。
題意より、s＝0、t＝0、u＝0
wが計算中なので、n(A∪B∪C)＝p＋q＋r＋v≦68 ‥ ①
また、vは、集合A、B、Cのそれぞれの要素の個数の一部なので、集合A、B、Cのそれぞれの
要素の数を超えることはできない。
よって、
v≦34かつv≦40かつv≦23 ‥ ②
（p＝34－v≧0、q＝40－v≧0、r＝23－v≧0からも、導かれます）
v が上記の①と②を満たすと、問題の条件を満たします。
また、問題の条件の場合、上記の①と②が成り立ちます。
p＝34－s－u－v＝34－v
q＝40－s－t－v＝40－v
r＝23－t－u－v＝23－v
これらを①に代入
34－v＋40－v＋23－v＋v≦68
－2v≦－29
v≧14.5
すなわち、v≧15 ‥ ③
②より、v≦23、これと、③より、15≦v≦23
逆にこのときに、題意を満たす。
答え：3科目とも好きな人の人数の範囲は、15人以上、23人以下である。
集合‐例題11 解説（3）
p、uは「数学は好きだが、国語は好きではない人」の集合の要素の個数なので、
「数学が好きな人は国語が好き」という条件から、p＝u＝0 となる。
同じように、ｒ、uは「理科は好きだが、国語は好きではない人」の集合の要素の個数なので、
「理科が好きな人は国語が好き」という条件から、r＝u＝0 となる。
数学と理科が好きな人数は、u、v となるが、u＝0なので、v のみとなります。
ベン図より、以下の３つの式ができます。
q＋s＋t＋v＝n（B）＝40 ‥ ④
p＋s＋u＋v＝n（A）＝34
s＋v＝34 ‥ ⑤
r＋t＋u＋v＝n（C）＝23
t＋v＝23 ‥ ⑥
v が決まると、s、t が⑤、⑥によって決まり、④によって、q が決まります。
v が上記の④～⑥を満たすと、問題の条件を満たします。
また、問題の条件の場合、上記の３つの式が成り立ちます。
⑤を④に代入、
q＋t＋34＝40
q＋t＝6
⑥より、t＝23－v これを、q＋t＝6に代入、
q＋23－v＝6
v＝17＋q
⑤より、v＝34－s、⑥より、v＝23－t、そして最後に求めた v＝17＋q
v＝34－s より、v のとりうる範囲は、0≦v≦34 ‥ ⑦
v＝23－t より、v のとりうる範囲は、0≦v≦23 ‥ ⑧
v＝17＋q より、v のとりうる範囲は、17≦v ‥ ⑨
⑦から⑨の v の共通範囲は、17≦v≦23
逆にこのときに、題意を満たす。
答え：数学と理科が好きな人は少なくとも、17人いる。
集合‐例題11 解説（4）
題意より、w＝5、v＝0
p＋q＋r＋s＋t＋u＝68－5＝63 ‥ ⑪
p＋s＋t＝34 ‥ ⑫
q＋s＋u＝40 ‥ ⑬
数学と国語が好きな人の人数は、s なので、余分な文字を消去する。
⑫より、p＝34－s－t、⑬より、q＝40－s－u
これを、⑪に代入
34－s－t＋40－s－u＋r＋s＋t＋u＝63
r＝s－11
r≧0より、s－11≧0、よって、s≧11
s は11以上である必要がわかります。逆に、s＝11とすると、r＝0
⑫、⑬より、
p＋t＝23
q＋u＝29
また、題意より、t＋u＝23
p＋t＝23、t＋u＝23より、u＝p
q＋u＝29と、t＋u＝23より、t＝q－6
u＝pと、t＝q－6を⑪に代入
p＋q＝29となります。
ここで、p＋q＝29、t＝q－6≧0となるような、p、q を出してみると、
p＝8とすると、u＝8、q＝29－8＝21、t＝21－6＝15
このとき、p＋q＋r＋s＋t＋u＝8＋21＋0＋11＋15＋8＝63 となり、題意を満たす。
よって、数学と国語が好きな人は少なくとも11人いる。
答え：数学と国語が好きな人は少なくとも11人いる。
以上で集合に関する問題はとりあえず、終了です。
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