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集合の要素の個数－問題編4－
例題8では、2つの集合の問題をやりましたが、今度は、3つの集合に分類できる場合です。
繰り返しますが、集合の要素の個数の問題は、とにかくベン図を作成することです。
集合の要素の個数の問題の解法
1、それぞれの集合どうしの関係を理解して、正確なベン図を作成する。
2、わかっている数を書き込み、わからない数は、全て文字で表しておく。
3、問題でたずねている数が、ベン図のどの部分なのかを理解して、
わかっている人数から、わからない人数を導き出して答える。
集合‐例題10
集合‐例題10 解説
ベン図を作成する前に、集合どうしの関係を理解します。
各集合の重なる部分や、重ならない部分の定義をはっきりとさせます。
調査の対象となったグループ全体の集合：Ｓとする
数学が好きな人の集合：Ａとする
国語が好きな人の集合：Ｂとする
理科が好きな人の集合：Cとする
数学も国語も好きな人の集合：Ａ∩Ｂ
国語も理科も好きな人の集合：B∩C
理科も数学も好きな人の集合：C∩A
数学も国語も理科も好きな人の集合：Ａ∩Ｂ∩C
べン図を作成します。（右図）
問題で定義している人数を書き込み、わからない
人数は文字で表します。
線で囲まれているところに1文字を配置します。
（図のp、q、r、s、t、u、v）
数学も国語も理科も好きな人の人数である
n（A∩B∩C）、すなわち、v は、個数の定理を
使って解きます。（集合の要素の個数の冒頭で説明）
（1）から順に解いていくというより、まず、
わかる数を求めて、それから、次のわかる数を
求めてといった具合に解いていきます。
n（A∪B∪C）＝n（A）＋n（B）＋n（C）－n（A∩B）－n（B∩C）－n（C∩A）＋n（A∩B∩C）より、
n（A∩B）、すなわち、s＋v＝7
n（B∩C）すなわち、t＋v＝9
n（C∩A）すなわち、u＋v＝10
また、図から、
n（A∩B∩C）＝n（A∪B∪C）－n（A）－n（B）－n（C）＋n（A∩B）＋n（B∩C）＋n（C∩A）
＝40－25－20－18＋7＋9＋10＝3
数学も国語も理科も好きな人の人数 n（A∩B∩C）すなわち、v は、3
さて、これによって、 v がからんでいる、n（A∩B）、n（B∩C）、n（C∩A）の人数はわかっているから、
s、t、u の人数もすぐに判明します。そうすると、n（A）、n（B）、n（C）の人数もわかっているから、
p、q、r の人数もわかります。
s、t、u はそれぞれ、
s＝数学と国語だけが好きな人の人数
t＝国語と理科だけが好きな人の人数
u＝理科と数学だけが好きな人の人数
ですね。
s＝7－v＝7－3＝4、 t＝9－v＝9－3＝6、 u＝10－v＝10－3＝7
p 、q、r はそれぞれ、
p＝数学だけが好きな人の人数
q＝国語だけが好きな人の人数
r＝理科だけが好きな人の人数
図から、
P＝25－s－u－v＝25－4－7－3＝11
q＝20－s－t－v＝20－4－6－3＝7
r＝18－t－u－v＝18－6－7－3＝2
答え：
（1） 4人 （2） 6人 （3） 7人 （4） 11人 （5） 7人 （6） 2人 （7） 3人
基本的に集合の文章題は、方程式の文章題のようなものです。
わかっているものと、未知数とで等式をたてて、未知数を求めるのと同じです。
問題が解けるように、必要な情報はそろってますから、しっかりベン図をつくれば、
まず大丈夫です。
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