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集合の要素の個数－問題編3－
前のページの問題では、わかっている要素の個数から、わからない要素の個数を
確定することができました。
次は、わかっている要素の個数から、わからない要素の個数の範囲を求めるというものです。
つまり、ある数に確定できないが、範囲なら確定できるということです。
実際に問題で理解した方が早いので、さっそくやってみましょう。
集合‐例題9
集合‐例題9 解説（1）
集合の個数の、やや応用的な問題です。
ベン図を作成する前に、集合どうしの関係を理解します。
各集合の重なる部分や、重ならない部分の定義をはっきりとさせます。
調査の対象となったグループ全体の集合：Ｓとする
肉が好きな人の集合：Ａとする
魚が好きな人の集合：Ｂとする
肉も魚も好きな人の集合：Ａ∩Ｂ
べン図を作成します。（右図）
問題で定義している人数を書き込み、わからない
人数は文字で表します。
線で囲まれているところに1文字を配置します。
（例題9-1図のa、b、c、ｄ）
どちらも嫌いな人の数 d は、
d＝93－（a＋b＋c） （ここで、a＋b＋c≦93）
d の値は、a、b、c の値で決まります。
a、b、cの値は、ＡとＢの包含関係で決まります。a＋b＋cの値の範囲を調べましょう。
b の値が決まれば、a と c の値も自動的に決まるので、b の値の範囲を考えます。
ここで、bの最低値が0であることはあるでしょうか？
もし、b＝0とすると、AとBは、重ならないので、a＝67、c＝42となり、
a＋b＋c＝67＋0＋42＝109＞93となり、グループの人数を超えてしまい、
矛盾が起こってしまいます。b はある値以上でないいけないことは、直感的にわかります。
ここで、a＋b＝67 ‥①、c＋b＝42より、ｃ＝42－b ‥②
a＋b＋c≦93なので、これに①と②を代入して、
a＋b＋c≦93
（a＋b）＋c≦93
67＋42－b≦93
－b≦93－109
－b≦－16
b≧16
すなわち、「肉と魚が好きな人」は少なくとも、16人以上であることがわかります。
次にbの最大値を考えてみましょう。
b が最大になるときは、Ａ⊃Ｂのとき、
すなわち、「魚が好き」を選んだ人は、
全員、「肉が好き」も選んでいるという場合です。
（例題9-2図参照）
このとき、b＝42、よって、b の範囲は、16≦b≦42 ‥③
①より、a＝67－b、これと②より、
d＝93－（a＋b＋c）＝93－（67－b＋b＋42－b）＝93－（109－b）＝－16＋b
b＝d＋16
これを③に代入。
16≦d＋16≦42
16≦d＋16より、d≧0
d＋16≦42より、d≦26
よって、0≦d≦26
答え：どちらも嫌いな人の人数の範囲は、26人以下である。
集合‐例題9 （1）別解
実はこちらの方がスマートです。
d＝n（S）－n（A∪B）＝93－n（A∪B）‥① （ここで、n（A∪B）≦93）
ここで、d＝0の値をとりうると仮定すると、n(A∪B)＝93
n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）より、
93＝67＋42－n（A∩B）
n（A∩B）＝67＋42－93＝16
このとき、n(A∪B)＝93で dの最低値は、0となります。
d の最大値は、①で、n(A∪B)がとりうる最小の値のときになります。
n(A∪B)が最小になるときというのは、すなわち、Ａ⊃Ｂのときです。（例題9-2図参照）
このとき、d＝n（S）－n（A∪B）＝93－67＝26
よって、0≦d≦26
集合‐例題9 解説（2）
肉も魚も好きな人の人数は、（1）で、求めた b の範囲（③）です。
答え：肉も魚も好きな人の人数の範囲は、16以上、42人以下である。
集合‐例題9 解説（3）
肉だけが好きな人の人数は、a （例題9-1図参照）であり、
a＝67－b より、b＝67－a
これを、16≦b≦42に代入、16≦67－a≦42
16≦67－a より、
a≦67－16
a≦51
67－a≦42 より、
－a≦42－67
－a≦－25
a≧25
合わせて、25≦a≦51
答え：肉だけが好きな人の人数の範囲は、25人以上、51人以下である。
集合‐例題9 解説（4）
魚だけが好きな人の人数は、c （例題9-1図参照）であり、
c＝42－b より、b＝42－c
これを、16≦b≦42に代入、16≦42－c≦42
16≦42－c より、
c≦42－16
c≦26
42－c≦42 より、
－c≦42－42
－c≦0
c≧0
合わせて、0≦c≦26
答え：魚だけが好きな人の人数の範囲は26人以下である。
このような範囲を求める問題は、集合の意味（集合と集合の関係）がよくわかってないと、
解けません。
上の問題で言えば、「魚が好き」を選んでいる人全員が「肉が好き」も選んでいる可能性が
あるとか、題意に沿って、柔軟に集合の包含関係をイメージできるようにしましょう。
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