集合の要素の個数－問題編1－
要素の個数の問題は、倍数の問題がよくとりあげられています。
例えば、100以下の自然数のうち、4の倍数の個数、6の倍数の個数、4と6の倍数の個数を
求めるような問題です。
倍数の個数の求め方
倍数の個数は、単純に指定された有限の整数を、倍数の基となる整数で割った商となります。
（商の具体例：7÷3の商は2、余り1ですね）
一般式にすると、有限の自然数をA、倍数の基となる整数を ｘ とすると、
[ ] はガウスの記号で、[ ] の中の整数部分という意味です。
上の具体例でいくと、
100以下の自然数のうち、4の倍数の個数＝[100÷4]＝25
100以下の自然数のうち、6の倍数の個数＝[100÷6]＝16
どうして、割ればよいのかを考えてみましょう。
上の例でいくと、100を4で割れば、1から100の中に、4のかたまりが25個あることがわかります。
次に、25個の4のかたまり1つ1つに番号をふります。
1番 2番 3番 ‥ 23番 24番 25番
4 4 4 ‥ 4 4 4
ここで、1番、1番＋2番、1番＋2番＋3番、‥という具合に数を作っていきます。
1番＝4＝4×1＝4
1番＋2番＝4＋4＝4×2＝8
1番＋2番＋3番＝4＋4＋4＝4×3＝12
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
1番＋2番＋3番＋‥＋24番＋25番＝4＋4＋4＋‥＋4＋4＝4×25＝100
すると、これらの数は全部で25個作れることがわかります。
しかも、全ての数は、4ずつ足して作られているので、4の倍数であり、
また、それぞれの数は、増えていく方向の4ずつの差なので、次の2つが言えます。
1、それぞれの数どうしの重複はない。
2、それぞれの数の間に、別の4の倍数があることはない。
（間の数は、4の倍数に1以上3以下の数を足してつくられるので、これは4の倍数ではない。）
また、すべての数は100以下の自然数です。
従って、[100÷4]＝25が、4の倍数の個数であることがわかります。
このように考えると、どうして、割ればよいのかが理解できます。
では、以下の問題にチャレンジしてください。
集合‐例題7
個数の問題は、最初にベン図を描いて、求めた個数をどんどん入れていけば、
視覚的に、他の個数を求めやすくなりますので、ベン図を描く習慣をつけましょう。
（例題のベン図は解答の最後にあります。）
集合‐例題7 解説（1）
倍数の個数の求め方は、上で解説しましたので、100を4で割ればよいのでしたね。
[100÷4]＝25
答え：25
集合‐例題7 解説（2）
これも同様に、100を6で割ります。
[100÷6]＝16
答え：16
集合‐例題7 解説（3）
4と6の倍数は、4と6の最小公倍数の倍数となります。4と6の最小公倍数12
4と6の倍数は、12の倍数のことなので、
[100÷12]＝8
答え：8
集合‐例題7 解説（4）
4の倍数の個数は25、4と6の倍数の個数は8、4の倍数の個数の中に、
4と6の倍数の個数が含まれているので、題意の個数は、
4の倍数の個数から、4と6の倍数の個数を引いた数となります。
25－8＝17
答え：17
集合‐例題7 解説（5）
6の倍数の個数は16、4と6の倍数の個数は8、6の倍数の個数の中に、
4と6の倍数の個数が含まれているので、題意の個数は、
6の倍数の個数から、4と6の倍数の個数を引いた数となります。
16－8＝8
答え：8
集合‐例題7 解説（6）
求める個数は、n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）から求めてもよいし、
先にもとめた個数から求めてもよい。
n（A）を4の倍数の個数、n（B）を6の倍数の個数とおくと、
n（A∪B）は、4または6の倍数の個数、n（A∩B）は、4と6の倍数の個数となるので、
n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）＝25＋16－8＝33
でも、いいですし、
n（A∪B）は、
（3）で求めた4と6の倍数の個数
（4）で求めた4の倍数だが6の倍数でない個数、
（5）で求めた6の倍数だが4の倍数でない個数、
の合計なので、8＋17＋8＝33でもよい。
答え：33
集合‐例題7 解説（7）
4の倍数でも、6の倍数でもない個数は、全体の個数100から、4または6の倍数の個数を
引いた数となります。
100－33＝67
答え：67
Aは 4 の倍数の集合
Bは 6 の倍数の集合
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