集合の要素の個数
要素の個数に限りがある集合、すなわち有限の集合A、B、Cを考えたとき、
Aの要素の個数をn（A）と表すと、集合B、Cも同様に、n（B）、n（C）と表すことができます。
この場合、以下のことが成り立ちます。
2、n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）
3、n（A∪B∪C）＝n（A）＋n（B）＋n（C）－n（A∩B）－n（B∩C）－n（C∩A）＋n（A∩B∩C）
2の証明
Aの要素の内、A∩Bでない、要素の数を p、Bの要素の内、A∩Bでない、要素の数を q、
A∩Bの要素の数を r とします。（図1）
すると、n（A）＝p＋ｒ、n（B）＝q＋ｒ となり、
n（A∪B）＝p＋q＋ｒ
n（A）＋n（B）－n（A∩B）＝（p＋ｒ）＋（q＋ｒ）－ｒ＝p＋q＋ｒ
よって、n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）
この定理は、要は重複した個数である、n（A∩B）を引けば、n（A∪B）の個数となります
ということです。
3の証明
Aの要素の内、A∩Bでなく、かつA∩Cでない、要素の数を p、
Bの要素の内、B∩Aでなく、かつB∩Cでない、要素の数を q、
Cの要素の内、C∩Aでなく、かつC∩Bでない、要素の数を ｒ、
A∩Bの要素の内、A∩B∩Cでない、要素の数を s、
B∩Cの要素の内、A∩B∩Cでない、要素の数を ｔ、
C∩Aの要素の内、A∩B∩Cでない、要素の数を u、
A∩B∩Cの要素の数を ｖ とすると、（図2）
n（A）＝p＋s＋u＋v、n（B）＝q＋s＋t＋v、n（C）＝r＋t＋u＋v、
n（A∩B）＝s＋v、n（B∩C）＝ｔ＋v、n（C∩A）＝u＋v、となり、
n（A∪B∪C）＝p＋q＋ｒ＋s＋t＋u＋v
一方、
n（A）＋n（B）＋n（C）－n（A∩B）－n（B∩C）－n（C∩A）＋n（A∩B∩C）
＝（p＋s＋u＋v）＋（q＋s＋t＋v）＋（r＋t＋u＋v）－（s＋v）－（ｔ＋v）－（u＋v）＋ｖ
＝p＋s＋u＋v＋q＋s＋t＋v＋r＋t＋u＋v－s－v－ｔ－v－u－v＋ｖ
＝p＋q＋r＋s＋t＋u＋ｖ
よって、
n（A∪B∪C）＝n（A）＋n（B）＋n（C）－n（A∩B）－n（B∩C）－n（C∩A）＋n（A∩B∩C）
