集合‐例題4
これらの問題は、全てAとBの関係を証明してから、AとBの関係を示す必要があります。
集合Aが集合Bに含まれること（A⊂B）を証明するには、
ここで、集合Aが集合Bとが一致すること（A＝B）を証明するには、
「集合Aの全ての要素が、集合Bに含まれ、かつ、集合Bの全ての要素が、集合Aに含まれる」ことを
集合‐例題4 解説(1)
Aの要素の条件は、12の倍数（0を含まない）であることがわかります。
Bは、4と6の倍数なので、4と6の最小公倍数は12、Bの要素は、12n （nは自然数）となります。
従って、AとBの要素の条件は、同じであり、
Aの要素は、Bの要素でもあり、Bの要素は、Aの要素でもあるので、A＝B
答え：A＝B
集合‐例題4 解説(2)
まず、A⊂Bであるかを調べます。
ここで、Aの要素である 3m＋7で、mを任意の整数にしたとき、 3m＋7は必ず、
Bの要素である 6n＋4 （nは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、mが任意の整数のとき、3m＋7＝6n＋4となる整数nが存在するかを調べます。
3m＋7＝6n＋4
3m＋3＝6n
m＋1＝2n
2n＝m＋1
ここで、m＝2とすると、nは、2分の3となり、Bの要素の条件であるnが整数であることに反する。
つまり、mの値によっては、nが整数とならない場合があるので、
証明は、成り立たない例を1つだけあげればよい）
では、次に、A⊃Bであるかをを調べます。
ここで、Bの要素である 6n＋4で、nを任意の整数にしたとき、 6n＋4は必ず、
Aの要素である 3m＋7 （mは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、nが任意の整数のとき、6n＋4＝3m＋7となる整数mが存在するかを調べます。
6n＋4＝3m＋7
6n－3＝3m
3m＝3（2n－1）
m＝2n－1
nが任意の整数のとき、mは整数となるので、6n＋4＝3m＋7となる整数mが存在する。
よって、
A⊂Bではなかったので、A＝Bとはなりません。
答え：A⊃B
集合‐例題4 解説（3）
まず、A⊂Bであるかを調べます。
ここで、Aの要素である 4m＋1で、mを任意の整数にしたとき、4m＋1は必ず、
Bの要素である 2n－1 （nは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、mが任意の整数のとき、4m＋1＝2n－1となる整数nが存在するかを調べます。
4m＋1＝2n－1
4m＋2＝2n
2m＋1＝n
n＝2m＋1
mが任意の整数のとき、nは整数となるので、4m＋1＝2n－1となる整数nが存在する。
よって、
では、次に、A⊃Bであるかをを調べます。
ここで、Bの要素である 2n－1で、nを任意の整数にしたとき、2n－1は必ず、
Aの要素である 4m＋1 （mは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、nが任意の整数のとき、2n－1＝4m＋1となる整数mが存在するかを調べます。
2n－1＝4m＋1
2n－2＝4m
n－1＝2m
2m＝n－1
ここで、n＝4とすると、mは、2分の3となり、Bの要素の条件であるmが整数であることに反する。
つまり、nの値によっては、mが整数とならない場合があるので、
A⊃Bではなかったので、A＝Bとはなりません。
答え：A⊂B
集合例題4 解説(4)
まず、A⊂Bであるかを調べます。
ここで、Aの要素である 5mで、mを任意の整数にしたとき、5mは必ず、
Bの要素である 7n （nは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、mが任意の整数のとき、5m＝7nとなる整数nが存在するかを調べます。
5m＝7n
7n＝5m
ここで、m＝1とすると、nは、7分の5となり、Bの要素の条件であるnが整数であることに反する。
つまり、mの値によっては、nが整数とならない場合があるので、
では、次に、A⊃Bであるかをを調べます。
ここで、Bの要素である 7nで、nを任意の整数にしたとき、7nは必ず、
Aの要素である 5m （mは整数）と表すことができるかを調べます。
すなわち、nが任意の整数のとき、7n＝5mとなる整数mが存在するかを調べます。
7n＝5m
5m＝7n
ここで、n＝1とすると、mは、5分の7となり、Aの要素の条件であるmが整数であることに反する。
つまり、nの値によっては、mが整数とならない場合があるので、
答え：A≠B
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