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組合せ 問題編11
組合せ-例題12
組合せ-例題12 解説(1)
このサイトの「場合の数」の問題をやった人は、何かピンとくるものがあるかも知れません。
なぜなら、この問題は、「場合の数 問題編2」と基本的に同じ性質の問題だからです。
まず、7人のうち、1人ずつ、ゲートに割り当てていきましょう。
最初の1人の割り当て方は、4つのゲート分、すなわち4通りあります。
1人も集まらないゲートがあってもよいということなので、
次の2番目の人も、1番目の人の場合それぞれについて、4つのゲート分、すなわち4通り
あります。
同様にして、3番目、4番目、…7番目とやっていくと、
4×4×4×4×4×4×4＝16384通り
答え：16384通り
組合せ-例題12 解説(2)
問題の条件を考えて、ゲートの集まり方の全てを次のように場合わけします。
①、1つのゲートに集まる。
②、2つのゲートに集まる。
③、3つのゲートに集まる。
④、4つのゲート全てに集まる。
問題の条件である「どのゲートも最低1人は集まる」とは、
④の「4つのゲート全てに集まる」ということです。
ということは、（1）で求めた全体の集まり方（16384通り）から、上の①から③までの
集まり方を引けば、④の集まり方を求めることができます。余事象の考え方ですね。
①の集まり方
ゲートを仮にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとすると、
ゲートは4つなので、全員が、Ａに集まる、Ｂに集まる、…というように、
4通りあります。
①の集まり方＝4通り
②の集まり方
「2つのゲートに集まる」は、さらに「どの2つのゲートに集まるか」というように
場合分けができます。
2つのゲートの選び方は、（ＡとＢ）、（ＢとＣ）、…というように、4つのゲートから、
2つを選ぶ組合せだから、
4Ｃ2＝6通り…☆
このうちの仮に1つのケース、（ＡとＢ）の場合を考えてみます。
全員が、ＡとＢのいずれかに集まる集まり方は、（1）のように考えると、
最初の1人の割り当て方は、2つのゲート分、すなわち、ＡとＢの2通りあります。
次の2番目の人も、1番目の人の場合それぞれについて、ＡとＢの2通りあります。
同様にして、3番目、4番目、…7番目とやっていくと、
2×2×2×2×2×2×2＝128通り
さて、128通りの中には、全員Ａゲートに集まる場合と、全員Ｂゲートに集まる場合が
含まれています。2つのゲートに集まる場合を考えているので、この2通り分は、除く
必要があります。よって、
ＡとＢに集まる集まり方は、128通り－2通り＝126通りとなります。
これが、先に求めた、☆の6通り全てに同様につくれるので、
6通り×126通り＝756通り
式をまとめると、②の集まり方は、
②の集まり方＝756通り
③の集まり方
「3つのゲートに集まる」は、さらに「どの3つのゲートに集まるか」というように
場合分けができます。
3つのゲートの選び方は、（ＡとＢとＣ）、（ＢとＣとＤ）、…というように、4つのゲートから、
3つを選ぶ組合せだから、
4Ｃ3＝4通り…★
このうちの仮に1つのケース、（ＡとＢとＣ）の場合を考えてみます。
全員が、ＡとＢとＣのいずれかに集まる集まり方は、（1）のように考えると、
最初の1人の割り当て方は、3つのゲート分、すなわち、ＡとＢとＣの3通りあります。
次の2番目の人も、1番目の人の場合それぞれについて、ＡとＢとＣの3通りあります。
同様にして、3番目、4番目、…7番目とやっていくと、
3×3×3×3×3×3×3＝2187通り
さて、2187通りの中身は以下のように場合分けされます。
Ⅰ、1つのゲートに集まる。
Ⅱ、2つのゲートに集まる。
Ⅲ、3つのゲートに集まる。
Ⅲの「3つのゲートに集まる」を問題にしているので、2187通りから、
ⅠとⅡの場合の集まり方を除く必要があります。
Ⅰの集まり方
全員Ａゲートに集まる場合、全員Ｂゲートに集まる場合、全員Ｃゲートに集まる場合
の3通りがあります。
Ⅱの集まり方
「2つのゲートに集まる」は、さらに「どの2つのゲートに集まるか」というように
場合分けができます。
2つのゲートの選び方は、（ＡとＢ）、（ＢとＣ）、…というように、3つのゲートＡ、Ｂ、Ｃから、
2つを選ぶ組合せだから、
※注意）今は、ＡとＢとＣの場合を考えているので、3つのゲートから選ぶわけです。
3Ｃ2＝3通り…▲
このうちの仮に1つのケース、（ＡとＢ）の場合を考えてみます。
全員が、ＡとＢのいずれかに集まる集まり方は、（1）のように考えると、
最初の1人の割り当て方は、2つのゲート分、すなわち、ＡとＢの2通りあります。
次の2番目の人も、1番目の人の場合それぞれについて、ＡとＢの2通りあります。
同様にして、3番目、4番目、…7番目とやっていくと、
2×2×2×2×2×2×2＝128通り
さて、128通りの中には、全員Ａゲートに集まる場合と、全員Ｂゲートに集まる場合が
含まれています。2つのゲートに集まる場合を考えているので、この2通り分は、除く
必要があります。よって、
ＡとＢに集まる集まり方は、128通り－2通り＝126通りとなります。
これが、先に求めた、▲の3通り全てに同様につくれるので、
3通り×126通り＝378通り
Ⅱの集まり方は、378通りあります。
よって、2187通りから、Ⅰの集まり方の3通り、Ⅱの集まり方の378通りを引いて、
2187－3－378＝1806通り
1806通りは、③の集まり方の1つのケースである（ＡとＢとＣ）の場合の並べ方です。
これが、先に求めた、★の4通り全てに同様につくれるので、
4通り×1806通り＝7224通り
式をまとめると、③の集まり方は、
③の集まり方＝7224通り
これで、①から③までの集まり方が全て求まりました。
①、1つのゲートに集まる。→4通り
②、2つのゲートに集まる。→756通り
③、3つのゲートに集まる。→7224通り
④、4つのゲート全てに集まる。
従って、全体の集まり方（16384通り）から、上の①から③までの集まり方を引けば、
④の集まり方を求めることができます。
16384－（4＋756＋7224）＝8400通り
答え：8400通り
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