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組合せ 問題編8
組合せ-例題9 立体編
組合せ-例題9（1）解説
これは、例題9の立体版です。
一見、難しそうに見えますが、やり方は、例題9の平面版と同じです。
行ける方向は、上（縦）、右横（横）、奥です。
図の最小の直方体の縦の長さ分進むのを縦1回、横の長さ分進むのを横1回、
奥の長さ分進むのを奥1回、とすると、AからBまでの行き方は、問題の前提で、
どのように行くにしても、縦3回、横3回、奥3回が必要であることが分かります。
例
縦→奥→横→縦→奥→縦→奥→横→横
奥→縦→横→縦→奥→横→横→縦→奥
：
上の3つの行き方は、互いに異なる行き方である。
これは、「異なる種類のものが、全部でn個あり、種類ごとの数が、a個、b個、c個
‥、で、それらを1列に並べる並べ方」と1対1で対応しています。
すなわち、問題の行き方は、「異なる種類（縦方向と横方向と奥方向）のものが、
全部で9個あり、縦方向の数が、3個、横方向の数が3個で、奥方向の数が3個で、
それらを1列に並べる並べ方の数」と1対1に対応しているので、（問題編3参照）
9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3＝1680通り
（※最後の3Ｃ3はなくてもよい）
答え：1680通り
組合せ-例題9（2）解説
点Pを通る行き方は、右図のように、Aから、
点Pの左側の赤で囲まれた直方体6個分の辺に沿って、
点Pまで行き、そこから、点PからBまで赤の線をたどります。
点PからBまでは、平面となります。
よって、AからPまでの行き方1つにつき、
PからBまでの行き方があるので、
P点を通る行き方は、AからPまでの行き方の数×PからBまでの行き方の数
となります。
AからPまでの行き方の数は、（1）の要領で、6Ｃ3×3Ｃ2＝60通り
PからBまでの行き方の数も、（1）の要領で、3Ｃ2＝3通り
AからPまでの行き方×PからBまでの行き方＝60×3＝180通り
答え：180通り
組合せ-例題9（3）解説
×のマークを通らない行き方の数は、全体の行き方の数から、×のマークを通る
行き方の数を引けばよいです。余事象の考え方ですね。
×のマークを通る行き方は、AからQ1までの行き方の数×Q2からBまでの
行き方の数となります。
×のマークを通る行き方は、上図のように、Aから、
Q1まで赤の線をたどります。AからQ1までは、平面となります。
Q2前方の赤で囲まれた直方体6個分の辺に沿って、Bまで行きます。
AからQ1までの行き方の数は、（1）の要領で、2Ｃ1＝2通り
Q2からBまでの行き方の数は、（1）の要領で、6Ｃ2×4Ｃ1＝60通り
AからPまでの行き方×PからBまでの行き方＝2×60＝120通り
よって、全体の行き方の数から引いて、
1680－120＝1560通り
答え：1560通り
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