組合せ 問題編6
組合せ-例題7
組合せ-例題7 （1）解説
全部足して、7なので、7をどのように3つに振り分けるかという組合せです。
ただし、それぞれに条件があるので、この条件をうまく処理できれば、簡単に求められそうです。
ｘ＝X、y－1＝Y、z－2＝Zとします。
よって、ｘ＝X、y＝Y＋1、z＝Z＋2
すると、ｘ＋y＋zは、X＋（Y＋1）＋（Z＋2）と表すことができ、ｘ＋y＋z＝7だから、
X＋（Y＋1）＋（Z＋2）＝7より、
X＋Y＋Z＝4
条件式は、
X≧0、Y＋1≧1、Z＋2≧2より、
X≧0、Y≧0、Z≧0
従って、
ｘ＋y＋z＝7、(x≧0、y≧1、z≧2）の整数解の集合は、
X＋Y＋Z＝4 （X≧0、Y≧0、Z≧0）の整数解の集合に1対1に対応しています。
つまり、ｘ＋y＋z＝7、(x≧0、y≧1、z≧2）の整数解がいくつあるかは、
X＋Y＋Z＝4 （X≧0、Y≧0、Z≧0）の整数解がいくつあるかを調べればよいのです。
さて、これは、例題6でやった問題と同じ性質であることに気がついたでしょうか？
すなわち、Ａ君からＣ君までが、XからZにあたり、まんじゅうの数は、4にあたり、まんじゅうをとる条件は、
（X＋Y＋Z＝4、X≧0、Y≧0、Z≧0）にあたります。
よって、6Ｃ2＝15通り
答え：15通り
組合せ-例題7 （2）解説
これも（1）と同様に考えることができます。ただし、x＞0、y＞1なので、ちょっとした工夫が必要です。
x＞0、y＞1は、言い換えれば、x≧1、y≧2なので、
ｘ－1＝X、y－2＝Y、z＝Zとします。
よって、ｘ＝X＋1、y＝Y＋2、z＝Z
すると、ｘ＋y＋zは、（X＋1）＋（Y＋2）＋Zと表すことができ、ｘ＋y＋z＝7だから、
（X＋1）＋（Y＋2）＋Z＝7より、
X＋Y＋Z＝4
条件式は、
X＋1≧1、Y＋2≧2、Z≧0より、
X≧0、Y≧0、Z≧0
従って、（1）の場合と同じ条件になるので、
6Ｃ2＝15通り
答え：15通り
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