組合せ 問題編4
組合せ-例題5 重複組合せ
組合せ-例題5 （1）解説
サイコロは3つありますが、目の数が全部違う場合の組だけを問題としています。
3つの目の数は、互いに異なる1から6までの数なので、サイコロを投げて出た目の数の組の数は、
1から6まで書かれたカード6枚から3つ選んで、その数の組み合わせの数となります。
理由を説明しましょう。
サイコロ3つの目が互いに異なる場合の目の数の組を要素とする集合をＡとします。
1から6まで書かれたカードから3つ選んで、その数の組み合わせを要素とする集合をＢとします。
Ａの要素は、Ｂの要素でもあり、
Ａの異なる要素には、Ｂの異なる要素が1つ対応します。
（逆に言うと、Ａの異なる要素が、Ｂの同じ要素に対応することはないということです）
これだけだと、Ａの要素の数は、Ｂの要素の数と等しいか、それより、少ないという
ことしか言えてません。すなわち、
Ａの要素の数≦Ｂの要素の数 ‥ ①
という関係だけです。
ここで、1から6まで書かれたカードから3つ選んだその数は、サイコロの目の数の範囲なので、
Ｂの要素は、Ａの要素でもあり、Ｂの異なる要素には、Ａの異なる要素が1つ対応します。
すなわち、
Ａの要素の数≧Ｂの要素の数 ‥ ②
①、かつ、②が言えるので、その場合、Ａの要素の数＝Ｂの要素の数の場合しか
あり得ません。
つまり、Ａの要素の数と、Ｂの要素の数は、等しいということになります。
よって、サイコロ3つの目が互いに異なる場合の目の数の組合せの数は、
1から6まで書かれたカードから3つ選ぶ組み合わせの数となり、6Ｃ3。
6Ｃ3＝20通り
答え：20通り
組合せ-例題5 （2）解説
3つのサイコロを振って出たの3つの目の組合せを、数が小さい順に並べたものを、
（a1、a2、a3） と表すことにします。（1≦a1≦a2≦a3≦6）
ここで、b1＝a1、b2＝a2＋1、b3＝a3＋2 という数の組（b1、b2、b3）を考えることにします。
（b1＜b2＜b3）
a1、a2、a3が1組決まれば、b1、b2、b3も1組決まります。
例
（1、2、2）→（1、3、4）
また、異なる組合せのa1、a2、a3の組には、異なる組合せのb1、b2、b3の組が対応します。
例
（1、2、2）→（1、3、4）
（1、2、3）→（1、3、5）
さて、b1＝a1、b2＝a2＋1、b3＝a3＋2より、a1＝b1、a2＝b2－1、a3＝b3－2
1≦a1≦6より、1≦b1≦6
1≦a2≦6より、1≦b2－1≦6 → 2≦b2≦7
1≦a3≦6より、1≦b3－2≦6 → 3≦b2≦8
b1、b2、b3は次の範囲となる。
1≦b1≦6
2≦b2≦7
3≦b3≦8
（b1＜b2＜b3）
すなわち、b1、b2、b3は、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの要素であることが
わかります。すなわち、8Ｃ3の要素であるわけです。
（8Ｃ3の要素であることが分かったというだけであり、逆に8Ｃ3の要素全てが、サイコロの
目の組合せに対応していると
また、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの組が、1つ決まると、
a1＝b1、a2＝b2－1、a3＝b3－2 より、a1、a2、a3の組も1つ決まります。
さらに、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの異なる組には、
異なるa1、a2、a3の組が1つ決まります。
（この時点では、まだ、a1、a2、a3が、サイコロの目の数の範囲とは言っていません。
あくまで、異なる組が1つ決まると言っているだけです）
次に、1から8までの数から、3つ選んだ組合せ、b1、b2、b3、（b1＜b2＜b3）が1組決まると、
a1＝b1、a2＝b2－1、a3＝b3－2
1≦b1≦6
2≦b2≦7
3≦b3≦8
より、
1≦a1≦6となります。
また、a2＝b2－1を、2≦b2≦7に代入すると、2≦a2＋1≦7から、1≦a2≦6
a3＝b3－2を、3≦b3≦8に代入すると、3≦a3＋2≦8から、1≦a3≦6
b1＜b2＜b3より、a1≦a2≦a3
よって、
1≦a1≦a2≦a3≦6 となり、
すなわち、8Ｃ3の要素である、b1、b2、b3が1組決まると、それに対応した、
a1、a2、a3の1組は、3つのサイコロを投げて出た目の数の組となります。
まとめると、
①、異なる組合せのa1、a2、a3の組には、異なる組合せのb1、b2、b3の組が1組対応します。
②、b1、b2、b3は、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの要素、すなわち、8Ｃ3の要素です。
③、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの異なる組には、異なるa1、a2、a3の組が
1つ決まります。
④、8Ｃ3の要素である、b1、b2、b3が1組決まると、それに対応した、a1、a2、a3の組は、
サイコロを投げて出た目の数の組となります。
以上の4つの条件により、
3つのサイコロを投げて出た目の数の組の数は、1から8までの数から、3つ選んだ組合せの数に
等しいと言えます。
よって、8Ｃ3＝56通り
答え：56通り
組合せ-例題5 （3）解説
問題では、6以外と言ってますので、このような場合は、余事象を考えた方が楽に解けそうです。
すなわち、（2）で求めた、全体の出方の数から、サイコロの目の数の合計が6になる場合の数を
引けば、サイコロの目の数の合計が6以外になる場合の数が求められます。
では、サイコロの目の数が6にる場合を考えましょう。
以下の3つの場合があります。（順番は関係ありません）
①、1、1、4
②、1、2、3
③、2、2、2
よって、56－3＝53
（2）より、簡単ですが、（2）ができないと、簡単に求められない問題です。
答え：53通り
（2）で求めた組合せを、重複組合せと言います。
一般には、
「互いに異なったｎ個のものがあり、そこから、同じものは何回も選べるとして、ｒ個取り出す組合せ」を
重複組合せと言います。
（2）の考え方に従うと、重複組合せの数は、n+r-1Ｃrで表されます。
（2）で見ると、
n → 6
r → 3
で、6+3-1Ｃ3＝8Ｃ3
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