組合せ-例題4
組合せ-例題4 （1）解説
これは、組合せとは、でやった
異なる種類のものが、全部でn個あり、種類ごとの数が、a個、b個、c個 ‥、で、
それらを1列に並べる。a＋b＋c＋‥＝n とする。
のケースです。
果物の総数は9個あり、全部を並べるので、1列に並んでいる9つの箱に、それらを入れていくと
考えると分かりやすいです。
どれから入れていくかはどうでもよいので、まず、りんごを入れましょう。
りんごの入れ方の総数は、9つの箱の3つを選ぶ選び方だから、
次に、柿を並べるとして、箱はりんごで3つふさがるので、
柿の入れ方の総数は、6つの箱の2つを選ぶ選び方だから、
りんごの入れ方1つ1つに、柿の入れ方が15通りあるわけです。
最後のみかんの入れ方は、残りに置くしかないので、自動的に決まってしまいます。
よって、全部の入れ方は、
9Ｃ3×6Ｃ2＝84×15＝1260通り
もちろん、公式を使ってもかまいません。
答え：1260通り
組合せ-例題4 （2）解説
3個の選び方なので、9Ｃ3とやりたいとこですが、これができません。
例えば、9枚のカードがあって、3枚を選ぶ場合だったら、9Ｃ3はＯＫです。
なぜ、だめかというと、9枚のカードは全て互いに違うものだからできますが、
9個の果物は、全てが互いに違うものではありません。
例えば、りんごは3個あるので、これらはどれを選んでもりんごには変わりありません。
もう少し具体的に考えてみましょう。カード9枚の番号を果物に対応させます。
1から3→りんご1、りんご2、りんご3
4から5→柿4、柿5
6から9→みかん6、みかん7、みかん8、みかん9
ここで、カードの場合、1、2、4と選ぶのと1、2、5と選ぶのは、互いに違うものですが、
本問題の果物の場合、それに対応した、りんご1、りんご2、柿4と選ぶのと、
りんご1、りんご2、柿5と選ぶのは、同じことです。
つまり、前者は、りんご2個と柿1個、後者も、りんご2個と柿1個です。
同じ選び方となります。
カードでは、違う選び方となる場合でも、問題の果物では、どちらも同じで1通りとなって
しまいます。
よって、単純に9Ｃ3と解く事はできません。
なので、場合分けをしていきます。
まず、次のように考えることができます。それぞれの果物がいくつあるかで違う選び方なので、
次の3つのパターンがあります。
1、3つとも同じ
2、2つが同じ
3、全部違う
1の場合は、りんご3個、みかん3個の2通りしかありません。柿は2個しかないからです。
2の場合は、柿も2個あるので、全部で考えることができます。
3つの内、2つが同じ果物なので、どの2種類を選ぶかは、3種類（りんご、柿、みかん）から、
2種類を選ぶ3Ｃ2通りあります。3Ｃ2＝3通りですね。以下の場合です。
①、りんご、柿
②、柿、みかん
③、りんご、みかん
それぞれの場合において、どちらの果物を2つにするかで、2通りずつあります。
①、りんご、柿 ‥ りんご2つと柿1つ、りんご1つと柿2つ → 2通り
②、柿、みかん ‥ 柿2つとみかん1つ、柿1つとみかん2つ → 2通り
③、りんご、みかん ‥ りんご2つとみかん1つ、りんご1つとみかん2つ → 2通り
よって、2の場合は、全部で6通りあります。
3は、りんご、柿、みかんの1通りしかありません。もともと3種類しかないので、
1通りしかつくれないわけです。
まとめると、
1、3つとも同じ ‥ 2通り
2、2つが同じ ‥ 6通り
3、全部違う ‥ 1通り
全部を足すと、9通り
答え：9通り
組合せ-例題4 （3）解説
この問題は、余事象が使えます。というより、若干楽なような気がします。
柿が端にくるケースは、大きく3つのパターンしかありません。
1、左端にだけ柿がある。
2、右端にだけ柿がある。
3、両端に柿がある。
（1）で求めた全体の並べ方の数から、上の1から3までの場合の並べ方の数を全て引けば、
柿が、端にいかない場合の並べ方の総数をなります。
1、左端にだけ柿がある。
柿○○○○○○○○ のように並ぶ場合です。○の開きスペース（8箇所）に
残った果物が置かれますが、右端は柿以外の果物が置かれます。
残りの果物は、りんご3個、柿1個、みかん4個
柿から並べるとして、柿の並べ方は、右端を除いた7通り、これで、開きスペース1箇所
埋まります。次にりんごを並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の3箇所を
選ぶ選び方であるから、7Ｃ3＝35通り。これで、開きスペース3箇所埋まります。
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
7×35×1＝245通り
2、右端にだけ柿がある。
これは、1と同様に考えることができます。並べ方の総数は同じです。
一応解説します。
○○○○○○○○柿 のように並ぶ場合です。○の開きスペース（8箇所）に
残った果物が置かれますが、左端は柿以外の果物が置かれます。
残りの果物は、りんご3個、柿1個、みかん4個
柿から並べるとして、柿の並べ方は、左端を除いた7通り、これで、開きスペース1箇所
埋まります。次にりんごを並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の3箇所を
選ぶ選び方であるから、7Ｃ3＝35通り。これで、開きスペース2箇所埋まります。
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
7×35×1＝245通り
3、両端に柿がある。
柿○○○○○○○柿 のように並ぶ場合です。○の開きスペース（7箇所）に
残った果物が置かれます。残りの果物は、りんご3個、みかん4個
りんごから並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の3箇所を選ぶ選び方で
あるから、
7Ｃ3＝35通り。これで、開きスペース3箇所埋まります。
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
35×1＝35通り
1から3までのケースを全て合計すると、
245＋245＋35＝525通り
全体の並べ方である1260通りから、525通りを引いて、
1260－525＝735通り
答え：735通り
余事象を使わない考え方
柿が端にいかないので、端は、りんごか、みかんのどちらかです。
このように、ある条件がつく場合は、まず、大きく場合分けをして、個々のケースの並べ方を
求めて、それらを合計すれば、求める答えとなります。
大きく分けると、次の場合しかありません。
りんごとみかんは、それぞれ2個以上あるので、左端、右端に、りんごとみかんを置くケースは、
左端から置くとすると、りんごとみかんの2通り、次に右端も左端のそれぞれの並び方について、
同じように2通り。よって、2×2＝4通りあります。
以下の4通りです。
１、左端が、りんご、右端が、りんご
2、左端が、りんご、右端が、みかん
3、左端が、みかん、右端が、りんご
4、左端が、みかん、右端が、みかん
それぞれのケースの並べ方を求めます。
１、左端が、りんご、右端が、りんご
りんご○○○○○○○りんご のように並ぶ場合です。○の開きスペース（7箇所）に
残った果物が置かれます。残りの果物は、りんご1個、柿2個、みかん4個
りんごから並べるとして、りんごの並べ方は、7通り、これで、開きスペース1箇所埋まります。
次に柿を並べるとして、柿の並べ方は、空きペース6箇所の2箇所を選ぶ選び方であるから、
6Ｃ2＝15通り
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
7×15×1＝105通り
2、左端が、りんご、右端が、みかん
りんご○○○○○○○みかん のように並ぶ場合です。○の開きスペース（7箇所）に
残った果物が置かれます。残りの果物は、りんご2個、柿2個、みかん3個
りんごから並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の2箇所を選ぶ選び方で
あるから、7Ｃ2＝21通り。これで、開きスペース2箇所埋まります。
次に柿を並べるとして、柿の並べ方は、空きペース5箇所の2箇所を選ぶ選び方であるから、
5Ｃ2＝10通り
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
21×10×1＝210通り
3、左端が、みかん、右端が、りんご
みかん○○○○○○○りんご のように並ぶ場合です。
これは2の場合と同様なので、つまり、りんごとみかんを交換しただけなので並べ方の数は
同じです。一応、解説します。
○の開きスペース（7箇所）に
残った果物が置かれます。残りの果物は、りんご2個、柿2個、みかん3個
りんごから並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の2箇所を選ぶ選び方で
あるから、7Ｃ2＝21通り。これで、開きスペース1箇所埋まります。
次に柿を並べるとして、柿の並べ方は、空きペース5箇所の2箇所を選ぶ選び方であるから、
5Ｃ2＝10通り
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
21×10×1＝210通り
4、左端が、みかん、右端が、みかん
みかん○○○○○○○みかん のように並ぶ場合です。○の開きスペース（7箇所）に
残った果物が置かれます。残りの果物は、りんご3個、柿2個、みかん2個
りんごから並べるとして、りんごの並べ方は、空きペース7箇所の3箇所を選ぶ選び方であるから、
7Ｃ3＝35通り。これで、開きスペース3箇所埋まります。
次に柿を並べるとして、柿の並べ方は、空きペース4箇所の2箇所を選ぶ選び方であるから、
4Ｃ2＝6通り
最後のみかんは、残りの空きスペースに並べるしかないので、1通り。
よって、1の場合の並べ方は、
35×6×1＝210通り
1から4までのケースを全て合計すると、
105＋210＋210＋210＝735通り
余事象で考えた方が1ケース分楽だったということでしょうか。
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