組合せとは
この単元では、場合の数を考える際に、基本的なパターンである組合せ（くみあわせ）
というのを理解しましょう。
個々の場合を考えるとき、順番を考慮するかしないかで、場合の数が違ってきます。
例えば、5つのボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3つ取り出して、一列に並べる場合の並べ方は何通りあるかを
調べることにします。
このとき、例えば、123 と 213 は、順番が違うので、互いに違う場合です。
ところが、3つ取り出すとき、3つの取り出し方だけを調べる場合、すなわち、並べるのではなく、
3つの組合せ（組）だけを問題にしている場合は、123 と 213 は、同じ組合せ
ということになります。
後者のように、並べ方ではなく、選ばれたものを組としてとらえる場合、組合せと言います。
組合せの代表的なものは、以下の2つです。
1、異なる n個のものから、r 個取り出す。
2、全部でn種類の異なるものがあり、その種類ごとの数が、a個、b個、‥、で、
それらを1列に並べる。a＋b＋‥＝n とする。
それぞれのケースを説明します。
1、異なる n個のものから、r個取り出す。
具体的な例で説明しましょう。
5つのボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3つ取り出すとします。
例えば、1、2、3の場合、1列に並べる順列では、123 と 132は違いますが、
1と2と3を1つの組として考えると、123 も 132も、どちらも、1と2と3の組で同じものです。
1 と 2と 3で、できる順列は、以下の 6通り
123、132、213、231、312、321
これらの6通りは、組だと、全部同じものなので、1通りとなります。
3つが、1と2と3で構成されない他のケース、例えば、1、2、4の場合でも、
順列では、このケースでも6通りありますが、組だと、1通りです。
つまり、順列である5Ｐ3＝60通りの内、組として考えると、3!つまり、6通ずつが1つの組として
区別されるので、全部を3!で割れば、組の総数、すなわち組合せの数が出ます。
5Ｐ3÷3!＝60÷6＝10
よって、5個から3つ取り出す組合せは、10通りとなります。
一般化すれば、異なる n個のものから、r 個取り出す組合せを、ｎＣｒと表すと、
ｎＣｒは、ｎＰｒを r! で割ったものです。
さらに、以下のように表すことができます。
すなわち、
公式的には、ｎＣｒは、ｎＰｒを r! で割ったものと理解していればよいです。
2、全部でn種類の異なるものがあり、その種類ごとの数が、a個、b個、‥、で、
それらを1列に並べる。a＋b＋‥＝n とする。
これも具体的にみていきましょう。
3種類の色（赤、黄、青）のカードがあり、
（これが、「全部でn種類の異なるものがあり」になります）
それぞれ、3枚、5枚、2枚あるとします。
（これが、「その種類ごとの数が、a個、b個、‥、」になります）
これらを1列に並べるとき、何通りの並べ方があるか？
この問題は、一見順列のようですが、同じ色どうしは区別されていないので、順列と組合せが
まざったような問題です。
考え方としては、どの色からでもよいのですが、ここでは、まず、赤を並べるとします。
赤の並べ方は何通りあるか？
全部の枚数を並べると、10枚並びます。ということは、並んだ10の空きスペースのどこを、
赤で埋めるかと考えても同じです。
赤は2枚あるので、「10の空きスペースから、2つ選ぶ」こととなり、これは、すなわち、
「異なる10個のものから、2個取り出す」と同じ意味です。
よって、赤の並べ方は、10Ｃ2
次に黄を並べるとします。黄は5枚あるので、赤のスペースを除いた残りの
「8の空きスペースから、5つ選ぶ」こととなり、これは、すなわち、
「異なる8個のものから、5個取り出す」と同じ意味です。
よって、黄の並べ方は、赤の並べ方それぞれにおいて、8Ｃ5
最語に青を並べるとします。青は赤、黄が決まると、自動的に決まります。
よって、全部の並べ方は、
では、一般化しましょう。分かりやすくするため、3種類の色のカードがあるとして、
それぞれの枚数は、a枚、b枚、c枚で、全部でn枚とします。a＋b＋c＝n
3種類のカードの並べ方は、
分子、分母に（n－a）!があるので、約分できますね。また、a＋b＋c＝nより、
ｎ－a－b＝c が導かれます。よって、（ｎ－a－b）!＝c!となります。
一般に、
2、全部でn種類の異なるものがあり、その種類ごとの数が、a個、b個、‥、で、
それらを1列に並べる。a＋b＋‥＝n とする。と、並べ方は次のようになります。
以上の2つは、組合せの基本なので、しっかりと頭の中に入れておきましょう。
さらに、次の重要な公式があります。
nCr＝nCn-r （0≦r≦n） （nCnからrを引くのではなく、nC（n-r)の意味です）
具体的に説明しましょう。
例えば、5つのボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3つ選ぶ組合せは、
5C3＝10通り
では、残る2つの組合せは、
5C2＝10通り
どちらも同じ数となりました。
これはどういうことでしょうか？
実は「3つ選ぶ組合せ」も「残る2つの組合せ」も、
同じ事象を何に着目して表現したかの表現上の違いがあるだけです。
どちらも、「5つを、3つと2つに分ける」という事象です。
「3つ選ぶ」とういうのは、分けた3つに着目した事象の捉え方です。
「残る2つ」とういうのは、分けた2つに着目した事象の捉え方です。
「3つ選ぶ組合せ」とういうのは、「残る2つの組合せ」と同じ意味になります。
3つの組合せが1つ決まれば、自動的に2つの組合せも1つ決まります。
他の3つの組合せには、他の2つの組合せが決まります。
例
123、 45
135、 24
245、 13
： 、 ：
同じ事象ですから、組合せの数も当然、同じです。
上の公式にあてはめると、
5C3＝5C5-3＝5C2＝10
この表裏のような公式は、考え方が極めて重要で、
同じ事象を、別の角度から表現するという習慣をもつ事が大切です。
それによって、場合わけ問題の解決の糸口になる場合もあります。
さらに、nCr＝nCn-rの拡張の公式として、次があります。
nCr＝n-1Cn-r＋n-1Cr （0≦r≦n）
この公式も、具体的に考えてみましょう。
例えば、5個のボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3個選ぶ組合せの数5C3は、以下の2つの場合しかないので、
①と②の数の合計となります。②のケースは、①以外のケースということです。
①、1の番号のボールを含む組合せ
②、1の番号のボールを含まない組合せ
①は、3個の内、1個は、1と決まっているので、残りのボールから、2個を
選ぶ組合せとなります。5から1除いた残りの4個から、3個から1個減らした
2個選ぶ組合せだから、
5-1C3-1＝4C2
②は、3個の内に、1は、含まないので、1を除いた残りのボールから、3個を
選ぶ組合せとなります。5から1除いた残りの4個から、3個選ぶ組合せだから、
5-1C3＝4C3
①＋②＝4C2＋4C3
5C3＝4C2＋4C3となります。
最後まで計算すると、4C2＋4C3＝6＋4＝10
5C3＝10なので、一致することが解ります。
ここで、5個を n個、選ぶボールの数を r 個として、一般化して考えると、
n個のボールがあり、それぞれ1からnまで番号が書かれているとします。
そこから、r個選ぶ組合せの数（0≦r≦n）は、以下の2つの場合しかないので、
①と②の数の合計となります。②のケースは、①以外のケースということです。
①、1の番号のボールを含む組合せ
②、1の番号のボールを含まない組合せ
①は、r個の内、1個は、1と決まっているので、残りのボールから、r-1個を
選ぶ組合せとなります。nから1除いた残りのn-1個から、r個から1個減らした
r-1個選ぶ組合せだから、
n-1Cr-1
②は、r個の内に、1は、含まないので、1を除いた残りのボールから、r個を
選ぶ組合せとなります。nから1除いた残りのn-1個から、r個選ぶ組合せだから、
n-1Cr
①＋②＝n-1Cr-1＋n-1Cr
よって、nCr＝n-1Cn-r＋n-1Cr
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