順列 問題編5
順列-例題6 円順列発展編
順列-例題6
（1）解答
問題編2では、円順列の基本の形をやりましたが、本問題では、それにある条件がついています。
すなわち、男女が交互に座るという条件です。
でも、むずかしく考える必要はありません。イメージしやすいように、
その形を図に表したのが右の図です。
まず、特定の1人を並べますが、その前に男女のどちらにするかを
決めますが、ここでは、男Ａ君をまず、右下図のように置いてみます。
左回でも、右回りでもどちらでもかまいませんが、ここでは、右回りに、
男、女、男、女、‥と配置していきます。
Ａ君を置いたので、残る男3人を右回りに配置する並べ方は、
3×2×1＝6通り
（注意：4×3×2×1としない理由は、「順列とは」の円順列を参照）
女の並べ方は、すでに男が並べられているので、
（正確に言うと、特定の1つ以上が、並べられているので、）
Ａ君の右横から女を配置するとして、女の並べ方は、
4×3×2×1＝24通り
男の並べ方
6通りの1つ1つについて、24通りあるので、男女が交互に座る座り方は、
6×24＝144通り
答え：144通り
順列-例題6
（2）解答
男の両隣と、女の両隣がある座り方は、どのようなケースがあるか調べて、
それぞれについて座り方を求めて、合計すれば、求める値となります。
しかし、場合分けが手間取りそうです。もう少し、効率的なやり方はないか？
（1）で求めた値は、男女が交互に座る座り方でした。
定義はどうなるでしょう？
一部でも、男女が交互に座ってないところがあれば、Ａに属さないということになるので、
この集合に限って言えば、全体の集合（男女8人を円形に座る座り方）からＡの値を引けば、
求めることができます。
ここで、男の両隣の座り方がある集合をＢ1、女の両隣の座り方がある集合をＢ2とすると、
「男の両隣、または女の両隣がある座り方」の集合はＢ1∪Ｂ2となり、
（2）の定義である「男の両隣と、女の両隣がある座り方」の集合は、Ｂ1∩Ｂ2となります。
なので、「男の両隣、または女の両隣がある座り方」の集合の一部となり、、
同じ集合ではありませんので、上記の式を使って、すぐに答えを出すわけにはいきません。
まずは、男女どちらでも良いのですが、2名だけを両隣にしてみて、他がどうなるかを考えてみます。
男を2名両隣にすると、残るは、男2名、女4名となります。
実際は円ですが、分かりやすいように両隣の男をそれぞれ端にもっていきます。
○のところに他の者が座ります。
男｜○○○○○○｜男
3人目の男を
男｜男○○○○○｜男 （男｜○○○○○男｜男でも同じこと）
のように並べると、4人目の男をどこに配置しても、女の両隣が発生します。
3人目の男を
男｜○男○○○○｜男 または、男｜○○○○男○｜男
のように並べても、4人目の男をどこに配置しても、女の両隣が発生します。
3人目の男を
男｜○○男○○○｜男 または、男｜○○○男○○｜男
のように並べても、4人目の男をどこに配置しても、女の両隣が発生します。
結局、残りの男をどのように配置しても、女の両隣が必ず発生することが分かります。
ということは、男だけが両隣になる座り方、女だけが両隣になる座り方は、
存在しないということになります。すなわち0です。
ベン図にすると以下のようになります。
男の両隣の座り方がある集合をＢ1、女の両隣の座り方がある集合をＢ2
これは、どういうことかと言うと、全体の座り方の内、「男女が交互に座る座り方」以外は、
「男の両隣と、女の両隣がある座り方」ということです。
よって、全体の座り方の数から、「男女が交互に座る座り方」の数を引けば、
「男の両隣と、女の両隣がある座り方」が求められます。
全体の座り方は、円順列の公式により、
7×6×5×4×3×2×1＝5040通り
男女が交互に座る座り方＝144通り
‥ （1）により求めた数
5040－144＝4896通り
答え：4896通り
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