順列 問題編3
順列-例題4 円順列基本
順列-例題4
（1）解答
椅子が5つ円形に並んでいて、ちょうど5人います。
しかも、座る人どうしの位置関係だけを考えるので、誰がどの位置の席に座っているかは、
関係ありません。
これは、「順列とは」で説明した円順列の公式をそのまま使えます。すなわち、
「異なる
n 個のものを円形に並べる」 の形であるからです。
異なる
n個のもの → 5人
円形に並べる → 円形の椅子に座らせる
4×3×2×1＝24通り
答え：24通り
順列-例題4
（2）解答
8人から、5人を選んだとき、その選んだ5人の座り方は、（1）で求めた、24通りとなります。
5人の選び方が違えば、その場合の座り方である24通りは、互いに違う座り方となります。
すなわち、ＡからＨの8人いるとして、
ＡＢＣＤＥ
と ＡＢＣＦＨは、異なる5人の選び方であるから、
ＡＢＣＤＥが円形に座る座り方は、24通り‥①
ＡＢＣＦＨが円形に座る座り方は、24通り‥②
この①と②は別個の座り方となります。
ＡからＨの8人いるとして、
ＡＢＣＤＥ
の5人 → 24通り
ＡＢＣＤＦ の5人 → 24通り
ＢＣＤＥＦ の5人 → 24通り
： →
24通り
つまり、5人の選び方を全て求め、その選び方の数×24通りが求める値となります。
では、5人の選び方の全ては、どのように求めるか？
その前に、順列として、8人から5人を選んで並べる並べ方を求めてみましょう。
順列の基本、「異なる
n 個のものから、r 個取り出して、1列に並べる」でしたね。
よって、8Ｐ5＝8×7×6×5×4＝6720通り
これは、順列ですから、例えば、
ＡＢＣＤＥ
と ＡＢＣＥＤ は、ＥとＤをひっくり返して順番が違うので、違うものです。
ところが、5人を選ぶだけとなると、どちらパターンも、同じということになります。
誰を選ぶかということだけが問題だからです。
そう考えると、6720通りの内、上記のように重複したケースを全て除いた値を、まず求める必要が
あります。どうしたらよいか？
例えば、6720通りの内の1つの順列のケース、ＡＢＣＤＥを考えてみます。
6720通りの中には、ＡＢＣＤＥの順番を変えたものが、含まれています。
ＡＢＣＤＥの順番を変えたものは、5種類のものから、5個取り出して並べる順列そのものなので、
5×4×3×2×1＝120通り
つまり、
6720通りの内の、1つの順列であるＡＢＣＤＥは、それ自体も含めて、120通りは同じもの
である、すなわち同じ選び方である
ということです。
では、ＡＢＣＤＥとは、違う選び方である任意の順列ＡＢＣＤＦの場合は、どうであるか？これも、同様に、
それ自体も含めて120通りが同じものになります。
このように考えると、6720通りを120で割れば、割った結果は、重複分が排除された、
すなわち、5人の選び方の全てとなります。
6720÷120＝56通り
よって、5人の選び方の全ては56通りとなり、それのそれぞれにつき24通りの座り方があるので、
8人の内、5人を選んで、円形の椅子への座り方は、
56×24＝1344通り
答え：1344通り
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