順列 問題編2
順列-例題3
順列-例題3
（1）解答
問題では、求められていませんが、単純に7人が椅子に座る座り方は何通りあるかは大丈夫ですか？
7Ｐ7＝7×6×5×4×3×2×1＝5040通り ですね。
問題を解く方針、順序としては、
1、女Ｅさんと男Ｂ君が隣どうしに座る場合は、どんな場合かあるか調べる。
2、1のそれぞれの場合の座り方を求める。
3、2で求めた場合の数を全て足す。これが求める値となる。
問題を解く場合、最初に方針をたててから、その順番通りに答えを出していけば、
正解にたどり着けます。順番にみていきましょう。
ＢとＥが隣同士は、ＢＥと並んで座るか、ＥＢと並んで座るかでは、どちらも違うケースとなります。
ＢＥと並んで座る場合を先に考えます。ＢＥは常に一緒なので、ひとかたまり（1人）として考えると、
6個の椅子に6人が座る順列とみなすことができます。（ＢＥ、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｆ、Ｇの5人）
よって、ＢＥと並んで座る場合座り方は、
6×5×4×3×2×1＝720通り
ＥＢと並んで座る場合も同様に考えることができるので、これも720通り
求める値は合わせて、1440通りとなります。
また、以下のように考えてみると分かりやすいです。ＢＥが並ぶ座り方は6つの場合があります。
○は残りの5人が入ります。ＢＥは固定ですから、単純に、残りの人数の順列となります。
①、ＢＥ○○○○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
②、○ＢＥ○○○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
③、○○ＢＥ○○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
④、○○○ＢＥ○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
⑤、○○○○ＢＥ○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
⑥、○○○○○ＢＥ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
①から⑦を全部合計すると、120×6＝720通り
ＢＥと並んで座る場合の座り方は、全部で720通り。
ＥＢと並んで座る場合も同様に考えることができるので、これも720通り
ＢＥと並んで座る場合とＥＢと並んで座る場合の数を合計すると、720×2＝1440通り
答え：1440通り
順列-例題3
（2）解答
男Ａ君と男Ｃ君が隣同士にならないは場合は、どんな場合かあるか？
ちょっと考えると、様々なケースがありそうです。
ここで、このような場合、余事象が使えないかと考えます。
余事象について分からない方は、余事象による考え方を復習してくださいね。
7人全ての座り方の集合をＵ、男Ａ君と男Ｂ君が隣同士ににならない座り方の集合をＱとすると、
つまり、全体の座り方の数から、男Ａ君と男Ｃ君が隣同士になる座り方の数を引けば、
求める値となります。
（1）で、女Ｅさんと、男Ｂ君が隣同士になる座り方を求めましたが、女Ｅさんを男Ａ君におきかえて、
男Ｂ君を男Ｃ君におきかえても同じことなので、（1）で求めた値が使えます。従って、
男Ａ君と男Ｃ君が隣同士になる座り方の数は1440通りとなり、
男Ａ君と男Ｃ君が隣同士ににならない座り方の数＝5040－1440＝3600通り
答え：3600通り
順列-例題3
（3）解答
男女が交互に座る座り方はどんな場合かあるか？
男の方が多いので以下の場合しかありません。
①、男女男女男女男
女が端に座ると、女男女男女男男、または、男男女男女男女となってしまいます。
よって、
左端から座らせるとして、左端の男は4通り、2番目の女は3通り、3番目の男は3通り
4番目の女は2通り、5番目の男は2通り、6番目の女は1通り、7番目の男は1通り、
となるので、
4×3×3×2×2×1×1＝144通り
答え：144通り
順列-例題3
（4）解答
男Ｃ君と男Ｄ君の間に、必ず2人が座る場合はどんな場合があるか？
Ｃ君がＤ君の左側にくる場合と、逆の場合があり、どちらも違うケースとなります。
Ｃ君がＤ君の左側にくる場合を先に考えます。
以下の4つの場合があります。分かりやすいように間の2人を●、残りを○にしました。
それぞれの場合の数を求めますが、Ｃ、Ｅは固定ですから、
単純に、残りの人数の順列となります。
①、Ｃ●●Ｄ○○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
②、○Ｃ●●Ｄ○○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
③、○○Ｃ●●Ｄ○ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
④、○○○Ｃ●●Ｄ ‥ 5×4×3×2×1＝120通り
①から④を全部合計すると、120×4＝480通り
Ｃ君がＤ君の左側にくる場合の座り方は、全部で480通り。
Ｄ君がＣ君の左側にくる場合も同様に考えることができるので、これも480通り
Ｃ●●Ｄと、Ｄ●●Ｃと座る場合の数を合計すると、480×2＝960通り
答え：960通り
順列-例題3
（5）解答
男Ａ君と男Ｄ君が隣同士にならない、かつ、女Ａさんと女Ｇさんが隣同士にならないは場合は、
どんな場合かあるか？
これも余事象で考えてみましょう。余事象の方が不適当であれば、方針を変えればよいのです。
Ｕ＝7人の座り方の集合
Ｑ1＝男Ａ君と男Ｄ君が隣同士になる集合
Ｑ2＝女Ｆさんと女Ｇさんが隣同士になる集合
とおいて、ベン図を描くと下記のようになります。
斜線の部分が、男Ａ君と男Ｄ君が隣同士にならない、かつ、女Ｆさんと女Ｇさんが隣同士にならない
集合となります。
斜線の部分の集合＝Ｕ－（Ｑ1∪Ｑ2）
Ｑ1∪Ｑ2＝Ｑ1＋Ｑ2－（Ｑ1∩Ｑ2）
よって、Ｑ1、Ｑ2、Ｑ1∩Ｑ2のそれぞれの数がわかれば、斜線の部分の集合の数
を求めることができます。
Ｑ1、Ｑ2は、それぞれ、（1）で求めた数となります。よって、
Ｑ1＝1440
Ｑ2＝1440
残るは、Ｑ1∩Ｑ2の数です。
ＡとＤが隣同士は、ＡＤと並んで座るか、ＤＡと並んで座るかでは、どちらも違うケースとなります。
また、ＦとＧが隣同士は、ＦＧと並んで座るか、ＧＦと並んで座るかでは、どちらも違うケースとなります。
その中の1つのケース、ＡＤ、ＦＧと座る場合を考えてます。ＡＤ、ＦＧそれぞれ常に一緒なので、それぞれ、
ひとかたまり（1人）として考えると、5個の椅子に5人が座る順列とみなすことができます。
（ＡＤ、ＦＧ、Ｂ、Ｃ、Ｅの5人）
1例： ＡＤ○○ＦＧ○
よって、ＡＤ、ＦＧと座る場合の座り方は、
5×4×3×2×1＝120通り
ＡＤ、ＦＧと座る場合以外の場合も同様に考えることができるので、
ＡとＤ、ＦとＧだけの座り方を求めれば、その数に120を乗じた値がＱ1∩Ｑ2の数となります。
ＡとＤ、ＦとＧだけの座り方
ＡとＤは、ＡＤ、ＤＡの2通り、ＦとＧは、ＦＧ、ＧＦの2通りあるので、
ＡとＤ、ＦとＧだけの座り方は、以下のように、2×2＝4
①ＡＤ、ＦＧ ‥ この場合の1例：ＡＤ○○ＦＧ○
②ＡＤ、ＧＦ ‥ この場合の1例：ＡＤ○○○ＧＦ
③ＤＡ、ＦＧ ‥ この場合の1例：○ＤＡ○○ＦＧ
④ＤＡ、ＧＦ ‥ この場合の1例：○ＤＡＧＦ○○
よって、この4通りそれぞれにつき、120通りあるので、
4×120＝480通り
よって、Ｑ1∩Ｑ2の数＝480通り
斜線の部分の集合＝Ｕ－｛Ｑ1＋Ｑ2－（Ｑ1∩Ｑ2）｝
Ｕの数＝5040
Ｑ1の数＝1440
Ｑ2の数＝1440
Ｑ1∩Ｑ2の数＝480
斜線の部分の集合＝5040－｛1440＋1440－（480）｝＝2640通り
男Ａ君と男Ｄ君が隣同士にならない、かつ、女Ｆさんと女Ｇさんが隣同士にならない座り方は、
2640通りとなります。
答え：2640通り
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