順列とは
「場合の数」の単元で、場合分けの色々なパターンを見ました。
場合分けの基本的な考え方を学んだ上で、簡単に整理すると、
場合分けの考え方
1、樹形図を使う。
2、しっかりとした場合分け
3、積の法則と和の法則
以上の項目が理解できていれば、場合分けの問題は、解くことができます。
この単元では、考え方の中で、基本的なパターンである順列（じゅんれつ）というのを理解しましょう。
個々の場合を考えるとき、順番を考慮するかしないかで、場合の数が違ってきます。
例えば、5つのボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3つ取り出して、一列に並べる場合の並べ方は何通りあるかを調べることにします。
このとき、例えば、123
と 213 は、順番が違うので、互いに違う並べ方です。
ところが、3つ取り出すとき、3つの取り出し方だけを調べる場合、すなわち、並べるのではなく、
3つの組み合わせ（組）だけを問題にしている場合は、123
と 213 は、同じ組合せということになります。
前者のように、並べ方が違っていれば、それぞれ別個の場合とみなされ、並べられたものを
順列と言います。
順列の代表的なものは、以下の3つです。
1、異なる
n個のものから、r 個取り出して、1列に並べる。
2、異なる n種類のものがあり、それぞれの種類から、いくらでも取り出せるようになっている場合、
同じ種類の重複を許して、ｒ
個取り出して並べる。
3、異なる n個のものを円形に並べる。
それぞれのケースを説明します。
1、異なる
n個のものから、r個取り出して、1列に並べる。
左から並べるとして、最初の1個の並べ方は、n個あるので、n通りあります。
2番めの1個の並べ方は、最初の1個の並べ方それぞれにつき、既に並べた1個を除く、（n－1）通り
3番めの1個の並べ方は、2番め1個の並べ方それぞれにつき、既に並べた2個を除く、（n－2）通り
：
r番めの1個の並べ方は、（r－1）番め1個の並べ方それぞれにつき、既に並べた（r－1）個を除く、
｛n－（r－1）｝通り
樹形図に表すと以下のようになります。
n個から、r
個取り出して並べる並べ方の総数を、nPrと表すことにします。
nＰ1＝n （n個から、1個取り出して並べる並べ方の総数）
nＰ2＝n（n－1） （n個から、2個取り出して並べる並べ方の総数）
nＰ3＝n（n－1）（n－2）
（n個から、3個取り出して並べる並べ方の総数）
：
nＰr＝n（n－1）（n－2）‥｛n－（r－1）｝＝n（n－1）（n－2）‥（n－r＋1）
nＰr＝n（n－1）（n－2）‥（n－r＋1） （n個から、ｒ
個取り出して並べる並べ方の総数）
具体的な例
5つのボールがあり、それぞれ1から5まで番号が書かれているとします。
そこから、3つ取り出して、一列に並べる場合の並べ方は何通りあるか？
5Ｐ3＝5（5－1）（5－2）＝5×4×3＝60通り
2、異なる
n 種類のものがあり、それぞれの種類から、いくらでも取り出せるようになっている場合、
同じ種類の重複を許して、ｒ 個取り出して並べる。
左から並べるとして、最初の1個の並べ方は、n種類あるので、n通りあります。
2番めの1個の並べ方は、重複が許されているので、同じく
n通り
3番めの1個の並べ方は、重複が許されているので、同じく n通り
：
r番めの1個の並べ方は、重複が許されているので、同じく n通り
樹形図に表すと以下のようになります。
n種類のものから、重複を許して、r
個取り出して並べる並べ方の総数を、nⅡrと表すことにします。
nⅡ1＝n （n個から、1個取り出して並べる並べ方の総数）
nⅡ2＝n×n
（n個から、2個取り出して並べる並べ方の総数）
nⅡ3＝n×n×n （n個から、3個取り出して並べる並べ方の総数）
：
このような順列を重複順列（ちょうふくじゅんれつ）と言います。
3、異なる
n個のものを円形に並べる。
円形に並べる際に、n個と同じ数の場所があるとします。
円形なので、ぐるりと回すことができます。
例えば、右図で、8個の場所に、1～8の番号のカードを
置くとします。右図のように1を置いて、右回りに順に、
1、5、4、7、3、2、6、8と置いたとします。
では、その1の場所に、今度は5を置いて、
5、4、7、3、2、6、8、1と並べたとしても、
前者も後者も回せば同じ並べ方です。
しかし、例えば、3と2の位置を交換した下記の並べ方
1、5、4、7、2、3、6、8とは、明らかに違う並べ方です。
以上のように、円形の場合は、互いの並び方が問題であるので、
まず、どのカードでもかまわないのですが、あるカード、ここでは、1
のカードを上図のように置きます。
1のカードの右横から順に並べるとして、
2番目のカードの置き方は、7通り
3番目のカードの置き方は、6通り
：
8番目のカードの置き方は、1通り
並べ方の総数は、7×6×5×4×3×2×1＝5040通り
一般に、異なる
n個のものを円形に並べる並べ方は、
（n－1）（n－2）（n－2）‥2×1となります。
（n－1）（n－2）（n－2）‥2×1は、（n－1）！と表します。
また、このような円形に並べる並べ方を、円順列と言います。
上記の説明で、分かりずらかった方は、下記の考え方も参照してください。
仮に円形は固定されているとして、8個の場所に名前がＡ～Ｈまで
名前がついています。（右図参照）
8個の場所に、1～8の番号のカードを置くとします。
この場合、どこから並べるかは問題ではないので、
Ａから右回りにカードを置いていくことにします。
Ａの置き方は8通り、次にＢの置き方は7通り、という具合に
8×7×6×5×4×2×1＝40320通り
例えば、ある並べ方、Ａから右回りに順に、1、2、3、4、5、6、7、8があります。
これは、下記の並べ方とは違うものです。左から順にＡ～Ｈとします。
全て、1つずつ右へずらしたものです。右端の数は、左先頭に移動します。
① 8、1、2、3、4、5、6、7
② 7、8、1、2、3、4、5、6
③ 6、7、8、1、2、3、4、5
④ 5、6、7、8、1、2、3、4
⑤ 4、5、6、7、8、1、2、3
⑥ 3、4、5、6、7、8、1、2
⑦ 2、3、4、5、6、7、8、1
さて、ここで、円形が回転できるようになったとします。その場合の並べ方を考えます。
すると、上記の7個の並べ方は、1、2、3、4、5、6、7、8と同じ並べ方になります。
回転すれば、一致するからです。
先に求めた、40320通りのそれぞれの並べ方において、同じ並べ方が、自身も含めて8通りあります。
すると、その8通りは、1通り扱いとなるので、40320通りを8で割った数が、回転する場合の並べ方の
総数となります。
40320÷8＝5040
40320＝8×7×6×5×4×2×1でしたから、
40320÷8＝（8×7×6×5×4×2×1）÷8＝7×6×5×4×2×1 となります。
こちらの方が理解しやすかったかもしれません。
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