場合の数 問題編5
場合の数-例題5
場合の数-例題5解説
これは、集合の問題を解くのと同じように、ベン図を用いて解いたほうが、分かりやすいです。
集合の中に、他の集合がすっぽり含まれるという関係は、
ありません。
よって、Ａ：5の倍数、Ｂ：6の倍数、Ｃ：7の倍数の集合を、
右図のように一部が重なるように描きます。
そして、それぞれが、お互いに重なる部分がありますが、
それらの部分に記号を振ります。
5、6、7のいずれの倍数でもない数は、
5でも、6でも、7でも、割り切れない数ということです。
その部分は、Ａ、Ｂ、Ｃの全ての円の外側になります。
ということは、Ａ∪Ｂ∪Ｃの個数を、1000から引いたものが、求める個数となります。
式にすると、
1000－Ａ∪Ｂ∪Ｃの個数 ＝ 5、6、7のいずれの倍数でもない数の個数
Ａ∪Ｂ∪Ｃ＝p＋q＋r＋s＋t＋u＋v なので、
p～v の数を求めましょう。
まず、Ａの個数は、1000÷5の商の部分です。よって、1000の中に5の倍数は、200個あります。
どうしてか？
5＝5－－－－－－－－－-→
5の倍数の1個目、倍数は5
5＋5＝10－－－－－－－-→ 5の倍数の2個目、倍数は10
5＋5＋5＝15－－－－－－→ 5の倍数の3個目、倍数15
：
5＋5＋5＋‥＋5＝1000－-→ 5の倍数の200個目、倍数は1000
となり、確かに200個あることがわかります。
Ａの個数は、1000÷5の商で200個
では、同様にＢ、Ｃの個数を求めると、
Ｂの個数は、1000÷6の商で166個
Ｃの個数は、1000÷7の商で142個
では、次に、Ａ∩Ｂ、Ｂ∩Ｃ、Ｃ∩Ａのそれぞれの個数を求めましょう。
Ａ∩Ｂの個数は、5 と 6の倍数の個数です。5 と 6の倍数は、5と6の最小公倍数の倍数です。
5 と 6の最小公倍数は、30、よって、Ａ∩Ｂの個数は、30の倍数の個数となり、
1000÷30の商で、33個
Ｂ∩Ｃの個数は、6 と 7の倍数の個数です。6 と 7の倍数は、6と7の最小公倍数の倍数です。
6 と 7の最小公倍数は、42、よって、Ｂ∩Ｃの個数は、42の倍数の個数となり、
1000÷42の商で、23個
Ｃ∩Ａは、7 と 5の倍数の個数です。7 と 5の倍数は、7と5の最小公倍数の倍数です。
7 と 5の最小公倍数は、35、よって、Ｃ∩Ａは、35の倍数の個数となり、
1000÷35の商で、28個
まとめると、
Ａ∩Ｂの個数＝s＋v＝33
Ｂ∩Ｃの個数＝t＋v＝23
Ｃ∩Ａの個数＝u＋v＝28
上の式を見ると、全ての式にある v の数が分かれば、s、t、uが決まり、ベン図からも
明らかなように、p、q、r も決まります。
v の数は、すなわち、5 と 6 と 7の倍数の個数です。5 と 6 と 7の倍数は、
5 と 6 と 7の最小公倍数の倍数です。
5 と 6 と 7の最小公倍数は210、よって、v の数は、210の倍数の個数となり、
1000÷210の商で、4個
ｖ＝4
さらに、上の式から、
s＝33－4＝29、 s＝29
t＝23－4＝19、 t＝19
u＝28－4＝24、 u＝24
Ａの個数＝p＋s＋u＋v より、Ａ＝p＋29＋24＋4、Ａの個数は、200なので、
p＝200－29－24－4＝143
p＝143
Ｂの個数＝q＋s＋t＋v より、Ｂ＝q＋29＋19＋4、Ｂの個数は、166なので、
q＝166－29－19－4＝114
q＝114
Ｃの個数＝ｒ＋t＋u＋v より、Ｃ＝ｒ＋19＋24＋4、Ｃの個数は、142なので、
r＝142－19－24－4＝95
r＝95
これで、pからvまでの全ての数が判明しました。
1000－Ａ∪Ｂ∪Ｃの個数 ＝ 5、6、7のいずれの倍数でもない数の個数 より、
1000－（p＋q＋r＋s＋t＋u＋v）＝1000－（143＋114＋95＋29＋19＋24＋4）＝572
よって、5でも、6でも、7でも、割り切れない数の個数は、572
答え：572
場合の数-例題6
場合の数-例題6解説
これも、前問題と同じように、ベン図を用いますが、描き方に注意が必要です。
6の倍数の集合は、3の倍数の集合に、すっぽり含まれます。
また、3と4は、互いに、どちらかの倍数になっていないので、
一方が、他方の集合にすっぽり含まれるという関係は、
ありません。
よって、3の倍数の集合と、4の倍数の集合は、一部が
重なるように描き、3の倍数の集合の中に、
6の倍数の集合の図は描きません。
6の倍数の集合の図は、なぜ、描く必要はないのか？
右上段図を見ると、6の倍数の集合の図をどう描こうが、
bの値が分かれば、dの値（3、4、6のいずれの倍数でも
ない数）が分かります。bの値は、ＡとＢの関係から、
求めることができ、6の倍数の集合の図は必要ないのです。
あえて、描くと、右下図の黄色の部分が、
6の倍数の集合の部分になります。
1000－Ａ∪Ｂの個数＝3、4のいずれの倍数でもない数の個数
Ａの個数は、1000÷3の商で333個、
Ｂの個数は、1000÷4の商で250個、
では、次に、Ａ∩Ｂの個数であるbを求めましょう。
Ａ∩Ｂの個数は、3と4の倍数の個数です。3と4の倍数は、3と4の最小公倍数の倍数です。
3と4の最小公倍数は、12、よって、Ａ∩Ｂの個数は、12の倍数の個数となり、
1000÷12の商で、83個
Ａ∩Ｂの個数＝b＝83
よって、Ａ∪Ｂの個数＝Ａの個数＋Ｂの個数－Ａ∩Ｂの個数＝333＋250－83＝500
1000－Ａ∪Ｂの個数＝3、4のいずれの倍数でもない数の個数 より、
1000－Ａ∪Ｂの個数＝1000－500＝500
よって、3でも、4でも、6でも、割り切れない数の個数は、500
答え：500
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