場合の数 問題編3
場合の数-例題3
場合数-例題3 （1）解答
Aはパネルが固定されてますから、パネル左上、パネル右上、パネル左下、パネル右下は、
全て違う場所です。
前ページの例題2では、このような確認はしていませんが、この問題では必要です。
なぜなら、Bのパネルは、パネルの中心に回転できますから、仮にパネル左上に赤を
塗ったとしても、回転できるので、パネル右上、パネル左下、パネル右下のいずれかにも
塗ったと言えるのです。
ですから、（1）の問題を考える場合、パネルが固定であることを、認識してから解いていきます。
さて、どこから塗るかは問題ではないことは、例題2でやりました。
パネル左上→パネル右上→パネル右下→パネル左下の順で塗っていくとします。
パネル左上の塗り方は、6色あるので、6通りになります。例題2で、積の法則を理解された方は、
以後どのように展開されるかがわかるでしょう。
次に、パネル右上の塗り方は、パネル左上の塗り方の6通りのそれぞれについて、
6通りあります。パネル右下、パネル左下も同じように考えることができるので、
全体の塗り方は、
6×6×6×6＝1296通り
答え：1296通り
場合数-例題3 （2）解答
パネル左上の塗り方は、6色あるので、6通りになります。
一度塗った色は、二度と塗らないので、パネル右上の塗り方は、1色を除いた5色から選ぶことに
なります。パネル左上の塗り方の6通りのそれぞれについて、5通りになります。
同じく、パネル右下の塗り方は、4通り、パネル左下の塗り方は、3通りとなります。
一度塗った色は、二度と塗らないので、パネルの塗り方は、
6×5×4×3＝360通り
答え：360通り
場合数-例題3 （3）解答
（1）の冒頭で説明したように、パネルが回転できるので、（1）や（2）のような単純な計算は
できません。しっかりとした塗り方の場合分けをして、それぞれについて、何通りあるか調べ、
最後にそれらを足して、全体の塗り方（6色を自由に使って塗る塗り方）を求めます。
では、6色をパネルに自由に塗る塗り方を、どのように場合分けをしたらよいか？
塗料は6色あっても、パネルの領域は4つですから、多くても4色しか塗れません。
多くてもということは、1色だけの場合もあるし、2色だけの場合もある。
そう考えると、色をいくつ使うかで、場合分けができそうです。何色（色の数）使うかで、
お互いに同じ塗り方であることは絶対にないからです。
この観点で、場合分けをすると、
6色をパネルに自由に塗る塗り方は、
1、1色だけで塗る塗り方
2、2色だけで塗る塗り方
3、3色だけで塗る塗り方
4、4色で塗る塗り方
の4つの場合に分けられます。なので、それぞれの場合での、塗り方を求めて、全て足した数が、
求める数になります。
方針が立ったので、それぞれについて調べていきましょう。
1、1色だけで塗る塗り方
これは、6色しかないので、6通りとなります。
よって、1色だけで塗る塗り方は6通り
2、2色だけで塗る塗り方
2色だけで、パネルに塗るのだから、どの部分と、どの部分を1つの色でと考えると、
次の3つのパターンしかありません。数字はパネルの各領域の番号です。
上左図は、1と2が同じ色、3と4が同じ色、上中央図は、1と3が同じ色、2と4が同じ色です。
上右図は、1と2と3が同じ色です。
ここで、左上図なら、、2と3とか、3と4とかも同じ色という場合もあると思われたかも知れません。
しかし、このパネルは、回転できるので、回転すれば、皆同じ塗り方です。
上中央図、上右図も同じことが言えます。
でも、上左図、上中央図、上右図は、明らかに違うパターンです。
それぞれのパターンの塗り方を調べます。
上左図、上中央図のパターンの塗り方
上左図のパターンは、例えば、1と2が赤、3と4が緑、の組み合わせと、
1と2が緑、3と4が赤の組み合わせは、同じです。
上中央図のパターンは、例えば、1と3が赤、2と4が緑、の組み合わせと、
1と3が緑、2と4が赤の組み合わせは、同じです。
つまり、パネルを180度回転させれば、同じになってしまいます。
では、このような組み合わせの数は、計算で出せるでしょうか？
選んだ2色の塗料を、単純に、左と右に置くと仮定すると、
左の置き方は、6通り、右の置き方は、それ以外の色だから、5通りです。
6色から、2色を選ぶ並べ方は、
6×5＝30通り
さて、ここで、赤黄、赤緑は、明らかに違う組み合わせですが、
赤黄、黄赤は、同じ組み合わせです。
30通りは、順番（左と右）が違えば、違うものとして、計算されています。
そう考えると、30通りの中には、1つの並べ方に、必ず、左と右を逆にした並べ方が存在します。
赤黄と黄赤、赤緑と緑赤といった具合です。30通りの半分は、1つの並べ方の左と右を逆にした
並べ方であると言えます。
ということは、30通りを2で割った結果が、6色から2色を選ぶ組み合わせであることが
分かります。
6色から2色を選ぶ組み合わせは、30÷2＝15通り
よって、上左図、上中央図のパターンは、それぞれ、15通りの塗り方があります。
上右図のパターンの塗り方
1、2、3を1色で塗るので、その塗り方は、6色の塗料があるから、6通りです。
さらに、そのそれぞれの塗り方について、残りの5色の塗り方があるから、上右図のパターンの
塗り方は、
6×5＝30通り
全部を合わせると、15＋15＋30＝60通り
よって、2色だけで塗る塗り方は60通り
3、3色だけで塗る塗り方
3色だけで塗るパターンは、次の2つのパターンしかありません。
上左図は、1と2は同じ色、3と4は、互いに違う色で、1と2の色とも違う。
上右図は、1と3は同じ色、2と4は、互いに違う色で、1と3の色とも違う。
上左図のパターンの塗り方
1と2の塗り方は、6色あるので、6通り、次に、3は、残りの5色から選ぶので、5通り、
次に、4は、残りの4色から選ぶので、4通り、よって、
6×5×4＝120通り
上左図は、3と4が点対称でないので、パネルを回転させても同じにはなりません。
上右図のパターンの塗り方
1と3の塗り方は、6色あるので、6通り、次に、2と4ですが、
上右図のパターンは、例えば、1と3が赤、2が黄色、4が緑、
の組み合わせと、1と3が赤、2が緑、4が黄色、の組み合わせは、同じです。
2と4が点対称なので、パネルを180度回転させれば、同じになってしまいます。
ということは、残りの5色から2色を選ぶ組み合わせの数だから、2、2色だけで塗る塗り方と
同じ要領で、
5×4÷2＝10通り
この10通りは、1と3の塗り方である6通り、それぞれについて10通りあるから、
6×10＝60通り
よって、3色だけで塗る塗り方は、120＋60＝180通り
4、4色で塗る塗り方
4色の場合は、パネルの4領域とも全部違う色なので、下記のパターンのみとなります。
まず、1の塗り方は、6通り、2は5通り、3は4通り、4は3通りとなり、
6×5×4×3＝360通り としたいところですが、
このパネルは回転できるので、例えば、1つの塗り方である
1が赤 2が黄、3が緑、4が青とした場合、パネルを90度ずつ、時計廻りに回していくと、
1が青 2が赤、3が黄、4が緑
1が緑 2が青、3が赤、4が黄
1が黄 2が緑、3が青、4が赤
は全て、1が赤 2が黄、3が緑、4が青と同じ塗り方です。
既に、このような考え方を、前の場合で触れているので、理解しやすいと思います。
つまり、ある塗り方を上記のようにずらした他の3通りも含めて、1通りと見なされます。
よって、360通りを4で割った数が、4色での塗り方の数となります。
4色での塗り方の数は、360÷4＝90通り
これで、4つの場合のそれぞれの塗り方の数が以下のように出ました。
1、1色だけで塗る塗り方＝6通り
2、2色だけで塗る塗り方＝60通り
3、3色だけで塗る塗り方＝180通り
4、4色で塗る塗り方＝90通り
合計すると、6＋60＋180＋90＝336通り
答え：336通り
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