場合の数 問題編2
場合の数-例題2
場合数-例題2 （1）解答
3色を自由に使って塗ると言うのは、全部同じ色だったり、2色や3色だったり、ということです。
では、左端から色を塗っていくとします。このような場合分けを考えるとき、スタートの地点は
どこでもいいんですが、何通りあるかを考えるとき、考えやすいように、左端から
（あるいは右端から）塗っていくとします。
塗る順番は、場合分けに全く影響しません。
なぜなら、塗り方の数は、塗った結果が何通りか、ということなので、
つまり、「赤、黄、黄、黄、緑」みたいに、どのパネルが何色で、という、結果の数を求めている
のだから、塗る過程（塗る順番）は、どうでもよいのです。
当然ですが、「赤、黄、黄、黄、緑」という結果は、どんな塗り方でやったとしても、1通りです。
さて、では、塗り方が何通りあるか求めていきましょう。
左端から塗るとして、説明しやすいように、パネルに左端から、1～5までの番号をふることに
します。1番目の色の塗り方は、赤、黄、緑の3色あるので、3通りあります。
この3通りというのは、全て、互いに違う塗り方であるということです。
次に、2番目のパネルですが、このパネルの塗り方も、赤、黄、緑の3色いずれかを
塗ることができるので、3通りあります。
ということは、1番目のパネルの3通りの塗り方それぞれに、2番目のパネルの塗り方が、
3通りあります。
考え方を理解するために、樹形図をつくりました。
下の樹形図の縦の左側部分が2番目の塗り方まで示したものですが、これを見れば、
全て違う塗り方であることがはっきりわかります。
← 並べ方の1例です。
ここで、思い出してほしいのが積の法則です。
一般に、ある事柄Aの起こり方がm通りあって、その1つ1つの場合において、ある事柄Bの
起こり方がｎ通りある場合、Aの事柄と、Bの事柄がともに起こる場合の数は、m×ｎ となります。
この考え方でいくと、次のようになります。
ある事柄Aは、「1番目のパネルに色を塗る」です。これの起こり方（塗り方）が、3通りあります。
その1つ1つについて、ある事柄B「2番目のパネルに色を塗る」の起こり方（塗り方）が、
3通りあります。
Aの事柄と、Bの事柄がともに起こる場合の数は、すなわち、
「1番目のパネルに色を塗る」、かつ、「2番目のパネルに色を塗る」のときの
場合の数（塗り方）は、3×3＝9通りとなります。
「1番目のパネルに色を塗る」、かつ、「2番目のパネルに色を塗る」は、
「1番目のパネルと2番目のパネルに色を塗る」のことですから、
「1番目のパネルと2番目のパネルに色を塗る」のときの
場合の数（塗り方）は、3×3＝9通りとなります。
上の樹形図の左側の1番目の塗り方と、2番目の塗り方の組み合わせが、全部で9通りあるのが
分かりますか？
1番目 2番目
赤 赤 ‥ 1つ目
赤 黄 ‥ 2つ目
赤 緑 ‥ 3つ目
： ：
緑 黄 ‥ 8つ目
緑 緑 ‥ 9つ目
さて、今度は、ある事柄Aを「1番目のパネルと2番目のパネルに色を塗る」とすると、
これの起こり方（塗り方）は、9通りあることがわかりました。
ある事柄Bを「3番目のパネルに色を塗る」とすると、ある事柄Bの起こり方（塗り方）が3通り
あります。
すると、これも積の法則により、
Aの事柄と、Bの事柄がともに起こる場合の数、すなわち、
「1番目のパネルと2番目のパネルに色を塗る」、かつ、「3番目のパネルに色を塗る」のとき、
場合の数（塗り方）は、9×3＝27通りとなります。9は、3×3でしたから、
3×3×3＝27 となります。
つまり、「1番目と2番目と3番目のパネルに色を塗る」とき、塗り方は、
3×3×3＝27というわけです。
4番目まで塗る場合、5番目まで塗る場合も同様に考えることができるので、
「5番目まで塗る場合」の場合の数（塗り方）は、
3×3×3×3×3＝243通り
この数は、重複なしに、全ての場合分けを含んでいます。
答え：243通り
場合数-例題2 （2）解答
2色だけを使うので、2色の選び方が、まず何通りあるかを調べます。組み合わせなので、
順番は関係ありません。
赤 と 黄
黄 と 緑
緑 と 赤
の3通りがあります。これらのそれぞれについて、何通りあるか調べましょう。
まず、赤と黄から調べてみます。
これも、（1）と同様に、樹形図を書いてみます。
（1）の考え方が同じようにできるので、赤と黄を使った塗り方は、
2×2×2×2×2＝32通り
さて、ここで注意しなくては、ならないのが、左図を見れば、
分かりますが、
全部、赤の場合と、全部、黄の場合の2通りも含まれている
のがわかりますね。2色だけを使う塗り方を求めているので、
1色だけの場合は、除きます。32通りから、その2通りを引きます。
32－2＝30通り
赤と黄の場合は、30通りあることがわかりました。
では、黄と緑、緑と赤の場合はどうでしょうか？
この2つの場合も、赤と黄の場合の考え方と全く同じなので、
黄と緑 → 30通り
緑と赤 → 30通り
和の法則により、2色だけを使う塗り方は、
30＋30＋30＝90通り
答え：90通り
場合数-例題2 （3）解答
全ての色を使う場合の塗り方は、何通りあるかということですが、
勘のいい人は気がついたかも知れませんが、実は、この問題は、今までの中で出した結果から
簡単に求めることができます。
前にも触れましたが、余事象の考え方です。
5つのパネルを赤、黄、緑の3色で塗る場合、どのような塗り方があるか。
次のように分けることができます。
１、1色だけで塗る場合
２、2色だけで塗る場合
３、3色だけで塗る場合
全ての塗り方は、１から３まで全てを含みます。
（3）で求めていることは、まさに、３の「3色だけで塗る場合」にあたります。
ということは、次の式が成り立ちます。
全体の塗り方－2色だけの塗り方－1色だけの塗り方＝3色だけの塗り方
全体の並べ方は、（1）で求めた「3色を自由に使った塗り方」ですから、
全体の並べ方＝243通り
2色だけの塗り方は、（2）で求めた「2色だけ使った塗り方」ですから、
2色だけの塗り方＝90通り
1色だけの塗り方は、赤だけ、黄だけ、緑だけの3通りしかありません。
1色だけの塗り方＝3通り
よって、3色だけの塗り方＝243－90－3＝150
答え：150通り
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