場合の数 問題編1
場合の数-例題1
場合数-例題1 （1）解答
100円、50円、10円それぞれの硬貨の枚数を、ｘ枚、ｙ枚、ｚ枚とすると、次が成り立ちます。
100ｘ＋50ｙ＋10ｚ＝300 ‥ ①
ここで、簡単に積の法則などを使って、何々通りと出せるのでは、思うかもしれませんが、
これができません。
例えば、100円を1枚使った場合と、2枚使った場合では、10円と50円の組み合わせの数が
変わることは、予測がつきます。
このような場合は、計算で解こうとは思わず、（もちろん、できないのですが）
地道に樹形図を使って、求めていきます。樹形図は、場合分けの少ないものから、
分岐させていった方が分かりやすいし、間違いにくいので、100円の枚数の分岐から
始めましょう。
100円の枚数である ｘ は、全く使わない0枚から、3枚までの4通りの使い方があります。
それぞれの場合において、50円、10円のつくり方を求めて、最後は和の法則で、つくり方の
総数を求めます。
ｘ＝0の場合 （100円の枚数は0枚）
①の式は、50ｙ＋10ｚ＝300となり、この式は両辺を10で割って、さらに、
5ｙ＋ｚ＝30と変形できます。
今度は50円の枚数である y の場合分けをすると、ｙ の値に応じて、z は決まります。
50円の枚数である y は、全く使わない0枚から、6枚までの7通りの使い方があります。
y＝0、すなわち、50円の枚数が 0枚の場合、5×0＋ｚ＝30から、ｚ＝30 （10円の枚数は30枚）
y＝1、すなわち、50円の枚数が 1枚の場合、5×1＋ｚ＝30から、ｚ＝25 （10円の枚数は25枚）
y＝2、すなわち、50円の枚数が 2枚の場合、5×2＋ｚ＝30から、ｚ＝20 （10円の枚数は20枚）
y＝3、すなわち、50円の枚数が 3枚の場合、5×3＋ｚ＝30から、ｚ＝15 （10円の枚数は15枚）
y＝4、すなわち、50円の枚数が 4枚の場合、5×4＋ｚ＝30から、ｚ＝10 （10円の枚数は10枚）
y＝5、すなわち、50円の枚数が 5枚の場合、5×5＋ｚ＝30から、ｚ＝5 （10円の枚数は5枚）
y＝6、すなわち、50円の枚数が 6枚の場合、5×6＋ｚ＝30から、ｚ＝0 （10円の枚数は0枚）
ｘ＝1の場合 （100円の枚数は1枚）
①の式は、100＋50ｙ＋10ｚ＝300となり、
50ｙ＋10ｚ＝200
この式は両辺を10で割って、さらに、5ｙ＋ｚ＝20と変形できます。
今度は50円の枚数である y の場合分けをすると、ｙ の値に応じて、z は決まります。
50円の枚数である y は、全く使わない0枚から、4枚までの5通りの使い方があります。
y＝0、すなわち、50円の枚数が 0枚の場合、5×0＋ｚ＝20から、ｚ＝20 （10円の枚数は20枚）
y＝1、すなわち、50円の枚数が 1枚の場合、5×1＋ｚ＝20から、ｚ＝15 （10円の枚数は15枚）
y＝2、すなわち、50円の枚数が 2枚の場合、5×2＋ｚ＝20から、ｚ＝10 （10円の枚数は10枚）
y＝3、すなわち、50円の枚数が 3枚の場合、5×3＋ｚ＝20から、ｚ＝5 （10円の枚数は5枚）
y＝4、すなわち、50円の枚数が 4枚の場合、5×4＋ｚ＝20から、ｚ＝0 （10円の枚数は0枚）
ｘ＝2の場合 （100円の枚数は2枚）
①の式は、200＋50ｙ＋10ｚ＝300となり、
50ｙ＋10ｚ＝100
この式は両辺を10で割って、さらに、
5ｙ＋ｚ＝10と変形できます。
今度は50円の枚数である y の場合分けをすると、ｙ の値に応じて、z は決まります。
50円の枚数である y は、全く使わない0枚から、2枚までの3通りの使い方があります。
y＝0、すなわち、50円の枚数が 0枚の場合、5×0＋ｚ＝10から、ｚ＝10 （10円の枚数は10枚）
y＝1、すなわち、50円の枚数が 1枚の場合、5×1＋ｚ＝10から、ｚ＝5 （10円の枚数は5枚）
y＝2、すなわち、50円の枚数が 2枚の場合、5×2＋ｚ＝10から、ｚ＝0 （10円の枚数は0枚）
ｘ＝3の場合 （100円の枚数は3枚）
この場合、これで300円が完成なので、50円も10円も使わない。
すなわち、100円3枚の1通りである。
まとめると、
100円の枚数が 0枚のとき、300円のつくり方は、7通り
100円の枚数が 1枚のとき、300円のつくり方は、5通り
100円の枚数が 2枚のとき、300円のつくり方は、3通り
100円の枚数が 3枚のとき、300円のつくり方は、1通り
ｘ＝1～3は、同時に起こらないので、和の法則により、
7通り＋5通り＋3通り＋1通り＝16通り
答え：16通り
場合数-例題1 （2）解答
これも、ひたすら、場合分けになります。ただし、むやみやたらに、5円、10円、15円‥とやって
いっては、効率が悪いです。
まず、それぞれの硬貨を使って、できる金額の範囲を求めて、そして、位ごとに整理してみます。
できる金額の範囲は、5円～855円となります。855円は全ての硬貨の合計です。
よって、1の位、10の位、100の位で、どの硬貨で、どんな金額ができるかを調べます。
ある位の金額をつくるのに、その位の硬貨だけで、できる場合は、その硬貨の組み合わせ
だけを考えます。下位の位の硬貨を使うと、それだけ、下位の位の金額の作り方が減り、
下位の位との組み合わせの数が減ってしまう可能性があります。
例えば、200円を、100円硬貨2枚でつくれば、10の位は、10から90までと組み合わせがあるのに、
100円硬貨1枚と50円硬貨2枚でつくってしまうと、10の位の組み合わせが、10から40までと
減ってしまいます。50円硬貨は2枚しかありませんからね。
当然ですが、上位の硬貨（例えば100円硬貨）は、下位の金額（例えば10円から90円）を
つくれません。もちろん、下位の硬貨も使わなくてはできない金額もあります。
その場合は例外です。
1の位
5円 ‥ 5円硬貨1枚
10の位
10円 ‥ 10円硬貨1枚
20円 ‥ 10円硬貨2枚
30円 ‥ 10円硬貨3枚
40円 ‥ 10円硬貨4枚
50円 ‥ 50円硬貨1枚
60円 ‥ 50円硬貨1枚と10円硬貨1枚
70円 ‥ 50円硬貨1枚と10円硬貨2枚
80円 ‥ 50円硬貨1枚と10円硬貨3枚
90円 ‥ 50円硬貨1枚と10円硬貨4枚
100の位
100円 ‥ 100円硬貨1枚
200円 ‥ 100円硬貨2枚
300円 ‥ 100円硬貨2枚と50円硬貨2枚
400円 ‥ NG（できない）
500円 ‥ 500円硬貨1枚
600円 ‥ 500円硬貨1枚と100円硬貨1枚
700円 ‥ 500円硬貨1枚と100円硬貨2枚
800円 ‥ 500円硬貨1枚と100円硬貨2枚と50円硬貨2枚
100未満の金額は、10の位のそれぞれの金額（10円～90円）と、さらに、それぞれに5円を加えた
金額ができます。5円のみの1通りも加えると、
9通り（10円～90円）×2通り（5円をつけるか、つけないか）＋1通り（5円のみ）＝19通り‥①
100未満の金額は、19通りあります。
5円、10円、15円、‥90円、95円で19通りあるということです。
100円以上の金額は、100の位のそれぞれの金額（100円～800円）と、それぞれに、100円未満の
金額のパターンを組み合わせた金額ができます。
ただし、注意しなくてはいけないのが、300円、800円の場合です。下位の硬貨を使っているため、
100円未満の金額のパターンは少なくなります。また、400円代の金額はつくれません。
よって、300円、400円、800円を除く、100の位のそれぞれの金額を使っての、金額のつくり方は、
100未満の金額は、19通りがフルに使えて、さらに、100円未満はない場合（0の1通り）も含めるので、
19通り＋1通り＝20通りあります。
5通り（100円、200円、500円、600円、700円）×20通り（0円、5円、‥90円、95円）＝100通り‥②
次に、300円、800円の場合ですが、両方とも50円硬貨が2枚使われるので、
100円未満の金額のパターンは、0円～55円までしか、つくれません。
1の位
5円 ‥ 5円硬貨1枚
10の位
10円 ‥ 10円硬貨1枚
20円 ‥ 10円硬貨2枚
30円 ‥ 10円硬貨3枚
40円 ‥ 10円硬貨4枚
50円 ‥ 10円硬貨4枚と5円硬貨2枚
5通り（10円～50円）×2通り（5円をつけるか、つけないか）＋1通り（5円のみ）＝11通り
よって、300円、800円のそれぞれの金額を使ってのつくり方は、
100未満の金額は、11通りが使えて、さらに、100円未満はない場合（0の1通り）も含めるので、
11通り＋1通り＝12通りあります。
2通り（300円、800円）×12通り（0円、5円、10円、‥50円、55円）＝24通り‥③
①～③は全て、互いに金額が違うので、題意の硬貨を使ってできる金額の種類は、
①＋②＋③＝19通り＋100通り＋24通り＝143通り
答え：143通り
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