場合の数 余事象による考え方
余事象（よじしょう）とは、その名の通り、余りの事象です。具体的に説明しましょう。
例えば、1から5までの数字が書かれたカードがあって、これを1列に横に並べる並べ方を
考えるとします。全部の並べ方は、積の法則が使えるので、5×4×3×2×1＝120通り
では、1と2が隣り合わない並べ方は何通りあるでしょう？
ここで、その数を求めるために、1と2が隣り合わない並べ方は、どのような並べ方があるかを
列挙してみます。
1、1と2の間に1枚の他のカードがある。
2、1と2の間に2枚の他のカードがある。
3、1と2の間に3枚の他のカードがある。
それぞれのケースごとに並び方を求めます。
1のケース
1と2がどの場所にあるかで違う並べ方になります。
①から③のパターンがあります。
① 1○2○○ （2○1○○）
② ○1○2○ （○2○1○）
③ ○○1○2 （○○2○1）
○は、他のカードを意味します。
それぞれの場合において、1と2が入れ替わる場合がありますね。
その場合が、（ ）の場合です。
①の、1○2○○の並べ方の数を求めます。まず先頭は1で決まっているので、1通り、
2番目は、3、4、5 の3通り、3番目は2の1通り、4番目は、3、4、5の1つを除いた、2通り、
5番目は残りなので、1通り、
よって、1○2○○の並べ方は積の法則により、1×3×1×2×1＝6通り
①の（2○1○○）の場合も同様に考えて、6通り
①の並べ方は、和の法則により、6通り＋6通り＝12通り
②の、○1○2○の並べ方は、①の考え方と同じで、3×1×2×1×1＝6通り
①と同様に考えて、6通り＋6通り＝12通り
③も①と同様に考えて、12通り
①から③までのパターンの並び方は、和の法則により、12通り＋12通り＋12通り＝36通り
よって、1のケースは、36通り
2のケース
1と2がどの場所にあるかで違う並べ方になります。
④から⑤のパターンがあります。
④ 1○○2○ （2○○1○）
⑤ ○1○○2 （○2○○1）
④の、1○○2○の並べ方の数を求めます。まず先頭は1で決まっているので、1通り、
2番目は、3、4、5 の3通り、3番目は、3、4、5の1つを除いた、2通り、4番目は2の1通り、
5番目は残りなので、1通り、
よって、1○○2○の並べ方は積の法則により、1×3×2×1×1＝6通り
④の（2○○1○）の場合も同様に考えて、6通り
④の並べ方は、和の法則により、6通り＋6通り＝12通り
⑤も同様に考えて12通り
④と⑤のパターンの並び方は、和の法則により、12通り＋12通り＝24通り
よって、2のケースは、24通り
3のケース
3においては、1つのパターンとなります。
⑥ 1○○○2 （2○○○1）
⑥の、1○○○2の並べ方の数を求めます。まず先頭は1で決まっているので、1通り、
2番目は、3、4、5 の3通り、3番目は、3、4、5の1つを除いた、2通り、
4番目は3、4、5の2つを除いた、1通り、5番目は2となり1通り、
よって、1○○○2の並べ方は積の法則により、1×3×2×1×1＝6通り
⑥の（2○○○1）の場合も同様に考えて、6通り
和の法則により、6通り＋6通り＝12通り
よって、3のケースは、12通り
さて、1から3までのケースの並び方を全て足したものが、求める並び方となります。
よって、
36通り＋24通り＋12通り＝72通り
従って、1と2が隣り合わない並べ方は、72通りとなります。
いかがですか？ 結構手間がかかりました。
もっとスマートに解く方法はないのでしょうか？
スマートかどうかは、別としても、別の側面から見た解き方があります。
集合の基本法則2で、補集合というのをやりました。
この概念を使って、並べ方を集合として考えてみましょう。
1から5までの数字が書かれたのカードを1列に横に並べることを前提として、
全体の集合U＝｛x | x は、カードを1列に横に並べる並べ方の総数｝
集合A＝｛x | x は、カードを1列に横に並べる際に、1と2が隣り合わない並べ方の数｝
集合Aは、全体の集合の一部なので、ベン図を以下のようになります。
では、Uの中で、Aは何をさしているでしょうか？
Aは、1と2が隣り合わない並べ方の数ですから、
ここで、次が成り立ちます。
つまり、カードを1列に並べる並べ方の数から、
1と2が隣り合う並べ方の数を引けば、
1と2が隣り合わない並べ方の数が求められるということです。
直接Aを求めるのではなく、全体からAの補集合を除いて、Aを求めるやり方です。
この方法で解いてみましょう。
1と2が隣り合う場合は1と2を、ひとかたまりとして、以下の4つのケースがあります。
それぞれのケースで、1と2を入れ替える場合が（ ）の部分です。
① 12○○○ （21○○○）
② ○12○○ （○21○○）
③ ○○12○ （○○21○）
④ ○○○12 （○○○21）
○は、他のカードを意味します。
①の、12○○○の並べ方の数を求めます。まず先頭は1で決まっているので、1通り、
2番目は2の1通り、3番目は3、4、5 の3通り、4番目は、3、4、5の1つを除いた、2通り、
5番目は残りなので、1通り、
よって、積の法則により、1×1×3×2×1＝6通り
①の（21○○○）の場合も同様に考えて、6通り
①の並べ方は、和の法則により、6通り＋6通り＝12通り
②も①と同様に考えて、12通り
③も①と同様に考えて、12通り
④も①と同様に考えて、12通り
よって、1と2が隣り合う場合は、和の法則により、
①から④までのパターンの並び方は、和の法則により、
12通り＋12通り＋12通り＋12通り＝48通り
1と2が隣り合わない並べ方の数＝120－48＝72
よって、1と2が隣り合わない並べ方は72通りとなります。
いかがですか？最初の直接、1と2が隣り合わない並べ方を調べるよりも、
場合分けが少ないですね。
よりスマートと言えるかもしれません。
このような余事象の考え方は重要で、並べ方を考える際に、この方法も覚えておきましょう。
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