場合の数 樹形図 積と和の法則
ある集合を考えたとき、その集合の要素を、全部1列に並べて、その並べ方を考えるとします。
例えば、1から3までの番号が書かれたカードがあるとします。そこから、カードを１枚ずつ取って、
左から右に順に並べた場合、最も左のカードが1だったり、3だったり、あるいは、左から2番目の
カードが、1だったりと、様々な並べ方があります。
しかし、あるといっても、無限にあるわけでなく、カードが3枚と限定されているので、並べ方は
有限となります。
ある並べ方、例えば、左から順に、2 3 1 と並べた場合、これを1通りとカウントします。
次に、1 3 2 という並べ方をした場合、これは、前者の並べ方と違いますから、
合わせて2通りになります。
では、この並べ方は全部で何通りあるのでしょうか？
ここで、並べ方の総数を調べるのに、樹形図という方法があります。
例えば、上の例でいくと、まず最初に、1番左に置く場合、1から3までの選び方があります。
では次に、左から2番目にカードを置く場合、カードの選び方は、1番目に置いたカード以外の
2枚となります。例えば、1番左のカードが、1だったとすると、2番目のカードの選び方は、
2、3の2枚となります。3番目は、2枚が並んだところで残り1枚ですから、自動的に決まります。
これを図に表すと、下記のようになります。全部で6通りあります。
樹形図
このように考えると、ある規則性があることがわかります。
左から順に並べるとして、左の置き方は、3通り、真中の置き方は、左のそろぞれの置き方
について、2通りずつあり、右は真中の、それぞれの置き方について、1通りずつとなります。
全部の並べ方を計算で表すと、
3×2×1＝6 となります。
このように、並べ方の総数を求めるのに、1つずつ減らした数をかけていく計算によって、
求めることができました。
一般に、ある事柄Aの起こり方がm通りあって、その1つ1つの場合において、ある事柄Bの
起こり方がｎ通りある場合、Aの事柄と、Bの事柄がともに起こる場合の数は、m×ｎ となります。
これを、積の法則と言います。
従って、ある事柄Aの起こり方のうち、あるケースでは、事柄Bの起こり方の数が変わるような
場合では、当然ながら、この法則は使えません。
さて、今度は、1から3までの番号が書かれたカードを使い、3桁の数をつくり、それが偶数の
場合の並べ方が何通りあるか求めてみましょう。
積の法則を使えば、まず3桁の数が何通りできるかを求めることができます。
上の樹形図は、3桁の数の全ての表し方にもなります。
さて、その中で、3桁の数が偶数になる場合の並べ方は何通りあるでしょう。
偶数は、2で割り切れるので、1の位の数が、2の倍数であればよいわけです。
カードが1から3までなので、3桁の数が偶数になる場合は、1の位の数が2の場合となります。
百の位の数が 2 の場合は、その後の選び方全てが除外されます。
樹形図から、132 と 312 の2通りになります。
この場合の、並べ方の総数は、題意を満たす場合をピックアップして、足していきました。
132 と 312をピックアップして、それぞれ1通りで、足して2通りです。
このように、単純に積の法則を使って出せないが、具体的な場合わけをして、それぞれの
並べ方の数を足していくという法則があります。
一般に、ある事柄Aと、ある事柄Bは同時に起こらない場合、ある事柄Aの起こり方がm通り
あって、ある事柄Bの起こり方がｎ通りある場合、Aの事柄、またはBの事柄が起こる場合の数は、
m＋n となります。
これを和の法則と言います。
上の例でいくと、百の位が1である並べ方で偶数の場合（ある事柄A）と、百の位が3である
並べ方で偶数の場合（ある事柄B）で、それぞれ1通りなので、ある事柄Aまたは、
ある事柄Bの起こり方は、
1＋1＝2 となります。
場合の数を考える場合、樹形図は有効で、これと、しっかりとした場合分けがポイントです。
ある事柄の起こり方（何通りあるか）を求める方法
1、ある事柄の起こり方を、さらに具体的にしっかりとした場合に分ける。
※それらの場合は、お互いに重複した部分があってはならない。
※それらの場合の集合が、ある事柄の起こり方と一致していなくてはいけない。
2、1で、できたそれぞれの場合の数は、積の法則や、さらに和の法則を使い求める。
3、2で求めた、それぞれの場合の数を全て足す。（和の法則）
3で、できた数が、ある事柄の起こり方（何通りあるか）となります。
ある事柄の起こり方を正しく求められるようになって、初めて正しい確率を
求めることができます。性急に確率の問題に進むのは得策ではありません。
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